Si $G$ es un grupo finito y todos los elementos no identitarios de $G$ son de orden 2 entonces el producto de estos elementos es la identidad.

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito con $\vert G\vert>2$ y todos los elementos no identitarios de $G$ son el orden $2$ entonces el producto de todos los elementos de $G$ es la identidad.

Como todos los elementos no identitarios son de orden 2 ya sé que $G$ es abeliano como $ab=(ba)^{-1}=ba$ .

Me han dicho que hay una solución que implica a los cosets, así que esto es lo que tengo.

Sé que debe haber un subgrupo de 4 elementos de G. Ya que para 2 elementos a,b. puedo formar un subgrupo $H=\{e,a,b,ab\}$ . Ahora este subgrupo tiene la propiedad si tomo el producto de los elementos no identitarios, $a(b)(ab)=e$ desde $H$ es abeliana. Tomando cosets de $H$ Me sale $xH=Hx$ desde $G$ es abeliano. Conozco el orden de $G$ debe ser par ya que es divisible por 2. Y para cualquier coset que tenga $xH=\{x,xa,xb,xab\}$

También sé que si mi producto es $a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n$ que cada miembro de este producto sólo puede aparecer en cada coset una vez, ya que los cosets son disjuntos.

A partir de aquí no tengo ni idea, ni siquiera estoy seguro de lo que se supone que me da esta idea del coset.

Answer 1

Como se observa, el grupo es abeliano. Como no tiene ningún elemento de orden $p$ para cualquier primo impar $p$ el orden del grupo es divisible sólo por el primo $2$ por lo que el orden es una potencia de $2$ .

El grupo tiene entonces un subgrupo $H$ del índice $2$ con un coset $aH$ . A cada elemento $h$ de $H$ corresponde un elemento $ah$ de $aH$ . El producto de estos dos elementos es $ah^2$ que es $a$ . Así que el producto de todos los elementos es $a^r$ , donde $r$ la mitad del orden del grupo, es par, y hemos terminado.

Answer 2

Escriba $G=\displaystyle\bigcup_{g\in G }gH $ .

Para $g_1,g_2\in G $ , ya sea $g_1H=g_2H $ o $g_1H\cap g_2H=\emptyset$ . Sea $G'$ sea un conjunto de todos los $g$ con conjuntos de pares disjuntos. Entonces podemos escribir $G=\displaystyle\bigcup_{g\in G' }gH.$

Ahora el producto de todos los elementos puede escribirse como $$\prod_{g\in G'}g\cdot ga\cdot gb\cdot gab =\prod_{g\in G'}g^4\cdot (ab)^2=1(\text{since $ G $ is Abelian and every element is of order $ 2 $}). $$