Demuestra que una secuencia no es Cauchy en$C^\infty_c(\mathbb{R})$

Question

Denotar $C^\infty_c(\mathbb{R})$ el espacio de todos compacta compatible infinitamente funciones diferenciables. Hemos equipado $C^\infty_c(\mathbb{R})$ la topología inducida por la siguiente familia de semi-normas: $$p_{n}(f)=\max_{\alpha\leq n}\sup_{x\in K_n}|f^{(\alpha)}(x)|,\quad n\in\mathbb{N}$$ donde $(K_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es un aumento de la secuencia de compacto conjuntos tales que a$\bigcup_{n=1}^\infty K_n=\mathbb{R}.$ , a Continuación, considere la secuencia dada por la siguiente: Elija $\phi\in C^\infty_c(\mathbb{R})$ tal que $\phi(x)=0$ siempre $x\neq[0,1]$. Definir $$\phi_n(x)=\sum_{j=1}^n 2^{-j}\phi(x-j),\quad x\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}.$$

Intuitivamente, ya que el $\phi_n$ converge pointwise a una función que no es compacta compatible, se deduce que el $\phi_n$ no puede ser una secuencia de Cauchy en $C^\infty_c(\mathbb{R})$ con la topología hemos equipado, como esta topología es completa. Sin embargo, estoy teniendo problemas para demostrar esto mediante el uso de estos semi-normas. Alguien podría dar algunas sugerencias? Gracias.

Answer 1

Acaba de encontrar un contraejemplo que muestra que $C^\infty_c (\mathbb{R})$ no está completo con la estructura topológica lineal que utilizó. Es por eso que ese espacio no suele estar equipado con esa topología. Referencia: Análisis funcional de Rudin en la página 137.

Answer 2

Yo tenía el mismo problema, no se puede fácilmente describir la topología de $C^\infty_c$ con su semi-normas. En su lugar, para cada $h$ continua deje $$\|f\|_{h,k} = \sup_x |h(x) f(x)|+\sup_x |h(x) f^{(k)}(x)|$$

Debido a $h$ puede tener arbitraria de crecimiento rápido, si $f$ no es compacta compatible, a continuación, $\|f\|_{h,0} = \infty$ para algunos $h$.

A continuación, $C^\infty_c$ es la intersección de todos los espacios de Banach con esas normas, con $U_{h,k,r}=\{ f \in C^\infty_c, \|f\|_{h,k} < r\}$ como su base de bloques abiertos, es decir,. el abrir los conjuntos son la traduce, intersección finita, y arbitrario de la unión de la $U_{h,k}$.

A continuación, $f_n \to f$ fib para cada conjunto abierto $U \ni f$ hay algo de $N$ tal que $(f_n)_{n \ge N} \subset U$.

Para hacer : probar que si todas las $f_n$ no de manera compacta, apoyado sobre un intervalo, entonces hay algunas $h$ tal que $\|f_n\|_{h,0}$ es ilimitado.

Por la intersección y la topología de la definición, iff $f_n$ es de Cauchy en todos los espacios de Banach, entonces converge a algún elemento de $C^\infty_c$.