Ejemplos de los lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias con primaria soluciones.

Question

Estoy buscando buenos ejemplos de los lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias que tienen soluciones simples, en términos de funciones elementales. (Pero no son triviales, como, por ejemplo, con la separación de variables).

Un ejemplo perfecto de lo que estoy buscando es el Carril-Emden ecuación de índice 5: $$y''+\frac{2}{x}y'+y^5=0,\qquad y(0)=1,y'(0)=0$$ en el que se admite la solución $$y(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2/3}}$$

Otro ejemplo muy bueno es $$4y^2y'''-18yy'y''+15y'^3=0$$ a partir de la cual nos encontramos $$y(x)=\frac{1}{(ax^2+bx+c)^2}$$ para algunas constantes $a,b,c$.

¿Tienes más ejemplos como estos? El superior de la orden, mejor que mejor. (Pero considero que, por ejemplo, $H(x,y'',y''')=0$ a ser de orden 1). Y es un plus si se trata de un problema de física.

Answer 1

Una muy simple sistema no lineal para analizar es lo que me gusta llamar el "Paracaídas de la Ecuación", que es esencialmente

$$\ddot{x}+k\dot{x}^2-g=0 \tag{1}$$

Con las condiciones iniciales $x(0)=0$$\dot{x}(0)=0$.

donde $\displaystyle k=\frac{\pi \rho C_d D^2}{8m}$

de tal forma que:

$m$ es la masa del cuerpo y el paracaídas,

$\rho$ es la densidad del fluido en el que el cuerpo se mueve,

$C_d$ es el coeficiente de arrastre del paracaídas ($1.5$ de perfil parabólico y $0.75$ plana),

$D$ es el diámetro efectivo de los paracaídas.

$(1)$ admite la solución:

$$x=\frac{1}{k}\left(\log\left(\frac{e^{2\sqrt{gk}t}+1}{2}\right)-\sqrt{gk}{t}\right)$$

$(1)$ también se puede convertir en la velocidad de considerar $\dot{x}=v$ en

$$\dot{v}+k{v}^2-g=0 \tag{2}$$

Solución de $(2)$ es

$$ v=\sqrt{\frac{g}{k}}\left(1-\frac{2}{e^{2\sqrt{gk}t}+1}\right) $$

Answer 2

Para el primer orden no lineal de la OE, que sin duda son conscientes de la ecuación de Clairaut. Veo que usted está buscando de orden superior, por lo que teniendo en cuenta lo siguiente: $$y^{'''}=(x-1)^2+y^2+y'-2\\\\ y(1)=1,~y'(1)=0,~y''(1)=2$$ Podemos encontrar una solución particular, por supuesto, mediante el método de la serie y el coeficiente indeterminado método simultáneamente. W e vea que $$y_p(x)=1+(x-1)^2-1/6(x-1)^3+1/12(x-1)^4+...$$

Answer 3

Sin duda me gustaría mencionar seis Painlevé ecuaciones. Estos son los únicos no lineales de 2º orden las ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma $w''=F(t,w,w')$ cuyas soluciones no pueden tener bienes muebles puntos críticos. Painlevé ecuaciones tienen una gran cantidad de aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas, como la integración de los modelos, matrices aleatorias, algebraica y la geometría diferencial y la combinatoria.

Es conocido (como se ha demostrado con rigor) que el general de las soluciones de Painlevé ecuaciones, en un sentido, no puede ser expresado en términos de funciones clásicas. Sin embargo, muchos particular, soluciones son conocidos por especial los valores de los parámetros y constantes de integración. Usted puede comprobar, por ejemplo, el NIST Biblioteca de ejemplos explícitos.

Estas soluciones incluyen la clásica función especial de soluciones (por ejemplo, para Painlevé II se expresan en términos de funciones de Airy, y para Painlevé VI en términos de Gauss funciones hipergeométricas). También, por ejemplo, Painlevé VI tiene una familia de elíptica soluciones y una gran cantidad de soluciones algebraicas con el polinomio de grado va a a $72$ y género a a $7$.

Con respecto a la física de las aplicaciones, se podía ver la larga lista en la página.19 aquí para tener una idea.

Finalmente, para dar una ilustración: Painlevé VI ecuación \begin{align} \nonumber\frac{d^2w}{dt^2}=\;\frac{1}{2}\left(\frac{1}{w}+\frac{1}{w-1} +\frac{1}{w-t}\right)\left(\frac{dw}{dt}\right)^2 - \left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t-1}+\frac{1}{w-t}\right)\frac{dw}{dt}\,+\\ \nonumber +\, \frac{w(w-1)(w-t)}{2t^2(t-1)^2}\left((\theta_{\infty}-1)^2-\frac{\theta_x^2 t}{w^2}+ \frac{\theta_y^2(t-1)}{(w-1)^2}+\frac{(1-\theta_z^2)t(t-1)}{(w-t)^2}\right) \end{align} con los parámetros de $(\theta_x,\theta_y,\theta_z,\theta_{\infty})=\left(\frac25,\frac15,\frac13,\frac23\right)$ $5$- rama de género $0$ algebraicas solución dada por las ecuaciones paramétricas \begin{align}&w=\frac{2(s^2+s+7)(5s-2)}{s(s+5)(4s^2-5s+10)}, \\ & t=\frac{27(5s-2)^2}{(s+5)(4s^2-5s+10)^2}. \end{align}

Answer 4

Sólo por diversión, me vino una DEQ que tiene un orden no definido.
$$ \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n} = \frac{1}{x^n + \mathrm{e}^y} $$ Su solución es $$ y = \ln \left(\left[\frac{(-1)^{n-1}}{n!}-1\right]x^n\right). $$ Aquí hay otra: $$ \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n} = y+e^{nx} $$ Es la solución para n>1 es $$ y=\frac{e^{nx}}{n^n -1}. $$ Si se elimina el requisito de $y(0)=1$, la generalización de la Carril-Emden ecuación $$ y"+\frac{2}{x}de {y'+y^N=0 $$ tiene la solución $$ y=\left(\frac{xi}{\sqrt{\beta^2+\beta}}\right)^\beta $$ donde $$ \beta=\frac{2}{1-N}. $$ Esta solución produce un error en $N=1,3$.

Por último, pero no menos importante, el unidimensional fluido de arrastre de la ecuación de $F=-\alpha v^2$ corresponde a la DEQ $$ m\ddot{y}=-\alpha \dot{y}^2 $$ donde $m$ es la masa en kilogramos y $\alpha$ es una radio sin unidades coeficiente de arrastre, que es una función de la forma, la densidad y la viscosidad. También tiene las condiciones que $y(t=0)=0$ $\dot{y}(t=0)=v_o$ donde $v_o$ es la velocidad inicial. Su solución es $$ y=\frac{m}{\alpha} \ln\bigg(1+\frac{\alpha}{m}v_ot\bigg). $$