Números primos $p<q<r$ tal que $r^2-q^2-p^2$ es un cuadrado perfecto.

Question

Encontrar los números primos $p<q<r$ tal que $r^2-q^2-p^2$ es un cuadrado perfecto.

Creo que la única solución es (2,3,7) pero no puedo probarlo. La ecuación sería $r^2-q^2-p^2=k^2$ de forma equivalente $q^2+p^2+k^2=r^2$ que de alguna manera es una ecuación diofantina clásica (de los cuádruples pitagóricos) que tiene una parametrización pero ¿cómo la uso? El problema es de una revista de 8º grado y creo que la solución no debe usar la solución general.

En realidad, la solución general de $q^2+p^2+k^2=r^2$ está dada por: $ q=a^2+b^2-c^2-d^2$

$p=2(mq+np)$

$k=2(nq-mp)$

$r=a^2+b^2+c^2+d^2$ Se deduce que uno de los números q o p es par y primo, por lo que es el 2.

Answer 1

Sugerencia

Todos los números primos $p\geq5$ satisfacer $p\equiv \pm 1\mod 6$

Por lo tanto, si $p,q,r\geq5$

$$r^2-q^2-p^2\equiv (\pm1)^2-(\pm1)^2-(\pm1)^2\equiv 1-1-1\equiv5\mod 6$$

Observa ahora, que no hay un cuadrado perfecto con el residuo $5$ módulo 6.
Esto se deduce del simple hecho de que (tomando las ecuaciones módulo $6$ )

$$\begin{array}l 1^2\equiv\color{red}1\\ 2^2\equiv \color{red}4\\ 3^2\equiv9\equiv\color{red}3\\4^2\equiv16\equiv \color{red}4\\5^2\equiv25\equiv \color{red}1 \\6^2\equiv\color{red}0\end{array}$$

¿Puedes terminar ahora?

Answer 2

Tu suposición es correcta: $(2,3,7)$ es la única solución. Hay una prueba sencilla que utiliza dos hechos básicos y fáciles de verificar:

• si $m$ es impar, entonces $m^2\equiv 1\pmod 4$ ;
• si $m$ no es divisible por $3$ entonces $m^2\equiv 1\pmod 3$ .

Procedemos de la siguiente manera.

Escriba $r^2-p^2-q^2=k^2$ con un número entero $k$ .

Si tuviéramos $p>2$ Esto implicaría $p^2\equiv q^2\equiv r^2\equiv 1\pmod 4$ , lo que lleva a $k^2\equiv r^2-p^2-q^2\equiv 3\pmod 4$ lo que contradice el primer hecho básico anterior. Por lo tanto, $p=2$ De ahí que $r^2=q^2+k^2+4$ .

Si tuviéramos $q>3$ Esto implicaría $r^2\equiv q^2\equiv 1\pmod 3$ lo que lleva a $k^2\equiv 2\pmod 3$ lo que contradice el segundo hecho básico anterior. Por lo tanto, $q=3$ y, como resultado, $r^2=13+k^2$ . En consecuencia, $(r-k)(r+k)=13$ que sólo es posible si $r-k=1$ y $r+k=13$ . Esto da como resultado $r=7$ , $k=6$ .

En resumen, la única solución es $p=2$ , $q=3$ , $r=7$ .