Supongo que la estructura de la onda operador $\square$ a ser considerado es el siguiente:
$$
\square =\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2\Delta\quad c>0,\;(x,t)\text{ en }\;\Bbb R^{n+1}\equiv \Bbb R^n\times \Bbb R \label{w}\etiqueta{W}
$$
Dicho esto, es posible demostrar la existencia y unicidad de una solución para la plantea un problema, que podría ser llamado homogénea problema de Cauchy para la perturbado ecuación de onda, y construir de una manera bastante explícita: también, dependiendo de las propiedades de los datos iniciales $\alpha$ e $\beta$, es posible determinar la suavidad de la solución y por lo tanto si se trata de una clásica solución o no.
Existencia, unicidad y la construcción explícita de la solución
Vamos a empezar por reformulationg el problema
$$
\left\{
\begin{align}
\square u(x,t)+u(x,t)&=0 &\\
u(x,0)&=\alpha(x) & x\in\Omega\\
u_t(x,0)&=\beta(x) & x\in\Omega
\end{align}
\right.\etiqueta{mp}\etiqueta{MP}
$$
Mediante el uso de técnicas de análisis de Fourier y la distribución de la teoría, precisamente por la aplicación a la resolución de \eqref{mp} el parcial de la transformada de Fourier respecto a la $x$ variable $\mathscr{F}_{x\to\xi}$, se puede transformar en el siguiente problema de Cauchy para una lineales de coeficientes constantes ODE:
$$
\left\{
\begin{align}
\frac{\partial^2 \hat{u}(\xi,t)}{\partial t^2}+(c^2|\xi|^2+1)\hat{u}(\xi,t)&=0 &\\
\hat{u}(\xi,0)=\hat{\alpha}(\xi) & &\\
\hat{u}_t(\xi,0)=\hat{\beta}(\xi) & &
\end{align}
\right.\etiqueta{1}\etiqueta{1}
$$
De haber aplicado la transformada de Fourier, se implícitamente buscar las soluciones de \eqref{mp} como una distribución de lento crecimiento, y las soluciones de \eqref{mp} son las transformadas de Fourier de esta distribuciones. Ahora, puesto que a partir de la teoría de la educación a distancia sabemos que el problema \eqref{1} única es solucionable, y puesto que la transformada de Fourier es un isomorfismo en $\mathscr{S}^\prime(\Bbb R^n)$ (ver [1], capítulo VII, §7.1, teorema de 7.1.10, p. 164), hemos resuelto la existencia y unicidad \eqref{mp}: además, la solución explícita a \eqref{1} se
$$
\hat{u}(\xi,t)=\hat{\alpha}(\xi)\frac{\cos\left(t\sqrt{c^2|\xi|^2+1}\right)}{\sqrt{c^2|\xi|^2+1}} + \hat{\beta}(\xi)\frac{\sin\left(t\sqrt{c^2|\xi|^2+1}\right)}{\sqrt{c^2|\xi|^2+1}}\label{2'}\etiqueta{2'}
$$
por lo tanto la solución de \eqref{mp} tiene la forma
$$
u(x,t)=\alpha\ast\mathrm{cp}(x,t)+\beta\ast\mathrm{sp}(x,t)\in\mathscr{S}^\prime(\Bbb R^n)\times C^\infty(\Bbb R) \label{2}\etiqueta{2}
$$
donde
$$
\begin{split}
\mathrm{sp}(x,t)&=\mathscr{F}_{\xi\to x}^{-1}\left[\tfrac{\sin\left(t\sqrt{c^2|\xi|^2+1}\right)}{\sqrt{c^2|\xi|^2+1}}\right](x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\Bbb R^n} \tfrac{\sin\left(t\sqrt{c^2|\xi|^2+1}\right)}{\sqrt{c^2|\xi|^2+1}}e^{i\langle \xi,x\rangle}\mathrm{d}\xi\\
\mathrm{cp}(x,t)&=\mathscr{F}_{\xi\to x}^{-1}\left[\tfrac{\cos\left(t\sqrt{c^2|\xi|^2+1}\right)}{\sqrt{c^2|\xi|^2+1}}\right](x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\Bbb R^n} \tfrac{\cos\left(t\sqrt{c^2|\xi|^2+1}\right)}{\sqrt{c^2|\xi|^2+1}}e^{i\langle \xi,x\rangle}\mathrm{d}\xi
\end{split}\label{3}\etiqueta{3}$$
La regularidad de la solución de $u(x,t)$ y condiciones para que sea una solución clásica
La primera cosa a tener en cuenta es que el seno y coseno plazo en \eqref{2'} está acotada oscilante $O\big(|\xi|^{-1}\big)$ para $|\xi|\to\infty$ funciones, por lo tanto su inversa de la transformada de Fourier es una función (de crecimiento lento) (es decir, la transformada de Fourier de las integrales en \eqref{3} existen en sentido clásico). Entonces
- Si $\Omega$ es acotado, $\alpha(x)|_{x\in\partial\Omega}=\beta(x)|_{x\in\partial\Omega}$=0 y $\alpha,\beta\in C^k(\Omega)$, $k\in\Bbb N$, por las propiedades estándar de las distribuciones (ver por ejemplo [2], capítulo 3, §3.4 páginas 48-50) $u(x,\cdot)\in C^k(\Bbb R^n)$ para todos los fijos $t\in\Bbb R$. En particular, si $k=2$, $u(x,t)$ es una solución clásica
- Si $\Omega$ es ilimitado, la regularidad de $u(x,t)$ no sólo depende de la fluidez de los datos iniciales, sino también de su comportamiento en el infinito. Precisamente, si aparte de ser $\alpha,\beta\in C^2(\Omega)$, tenemos también que su transformada de Fourier satisface la siguiente relación
$$
|\xi|^2\hat{\alpha}(\xi),|\xi|^2\hat{\beta}(\xi)\O\big(|\xi|^{-\varepsilon}\big)\ffi\hat{\alpha},\hat{\beta}\S\big(|\xi|^{-(2+\varepsilon)}\big)\label{g}\etiqueta{G}
$$
para $|\xi|\to\infty$ e $\varepsilon >0$, $u(x,t)$ es de nuevo una solución clásica: y condición \eqref{g} es seguramente satisfecho si $\alpha,\beta\to 0$ como $|x|\to \infty$ lo suficientemente rápido.
Nota sobre la estructura de las integrales de Fourier \eqref{3}: a diferencia de lo que ocurre para el estándar de la ecuación de onda , yo no era capaz de encontrar una expresión explícita de la inversa de Fourier que definen $\mathrm{sp}(x)$ e $\mathrm{cp}(x)$, a pesar de que no son distribuciones debido a la consideraciones anteriores: tal vez esto podría ser una interesante pregunta.
Bibliografía
[1] Lars Hörmander (1990), El análisis lineal de operadores diferenciales parciales I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2ª ed.), Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-52343-X/ 3-540-52343-X, MR1065136, Zbl 0712.35001.
[2] V. S. Vladimirov (2002), los Métodos de la teoría de las funciones generales delos Métodos de análisis y Funciones Especiales, Vol. 6, Londres–Nueva York: Taylor & Francis, pp. XII+353, ISBN 0-415-27356-0, MR2012831, Zbl 1078.46029.
