¿Qué es el "determinante" de dos vectores?

Question

Me encontré con la anotación $\det(v,w)$ donde $v$ y $w$ son vectores. En concreto, se trataba de la curvatura de una curva plana:

$$\kappa (t) = \frac{\det(\gamma'(t), \gamma''(t)) }{\|\gamma'(t)\|^3}$$

¿Qué se supone que significa?

Answer 1

Formaron una matriz apilando $\gamma'(t)$ y $\gamma''(t)$ uno al lado del otro como vectores columna. También se puede considerar como el producto cruzado de los dos vectores si se extienden ambos con un $z=0$ coordenada y toma la componente z del vector resultante (así puedes relacionarlo de alguna manera con la fórmula 3d).

Answer 2

Vectores en un plano $v,w$ pueden escribirse como matrices de columnas: $$v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}, \ \ \ w=\begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}.$$ Si se colocan varias matrices de columnas de este tipo una al lado de la otra, se obtiene una matriz cuadrada: $$(v,w)=\begin{bmatrix}v_1&w_1\\v_2&w_2\end{bmatrix}.$$ El determinante $\det(v,w)$ es simplemente el determinante de esta matriz cuadrada: $$\det(v,w)=\det\begin{bmatrix}v_1&w_1\\v_2&w_2\end{bmatrix}.$$

Answer 3

En general, el determinante de $n$ vectores $v_1$ , $v_2$ , $\dots$ , $v_n$ en $\mathbb R^n$ es el determinante de la matriz cuyas columnas son $v_1$ , $\dots$ , $v_n$ (en ese orden).

Visto como una aplicación cuyas entradas son vectores, el determinante tiene buenas propiedades:

1. multilineal que es lineal en cada variable: $$\det(v_1,\dots, a v_j+b w_j,\dots,v_n) = a \det(v_1,\dots, v_j,\dots,v_n) + b\det(v_1,\dots, w_j,\dots,v_n)$$

2. alternando conmutación de dos vectores transforma el determinante en su opuesto

$$\det(v_1,\dots, v_i, \dots, v_j,\dots,v_n) = \det(v_1,\dots, v_j, \dots, v_i,\dots,v_n)$$

3. El valor en la base canónica $(e_1,\dots,e_n)$ de $\mathbb R^n$ es $1$ .

$$\det(e_1,\dots,e_n) = 1 $$

En realidad, se puede demostrar que el determinante es la única forma multilineal alterna cuyo valor en la base canónica es $1$ . Muchos (¿la mayoría?) de los libros de Álgebra Lineal utilizan esto como definición del determinante (antes de extender la definición a matrices y luego a aplicaciones lineales). Creo que es equivalente pero más satisfactorio que introducir el determinante mediante la extraña fórmula de "expansión a lo largo de una fila" que utilizan la mayoría de los libros de texto de Precálculo.