¿Cómo debo resolver esta integral con parámetros cambiantes?

Question

No puedo resolver este. ¿Cómo debo proceder?

$$\iint_De^{\large\frac{y-x}{y+x}}\mathrm dx\mathrm dy$$

$D$ es el triángulo con estas coordenadas $(0,0), (0,2), (2,0)$ y he cambiado los parámetros de esta manera $u=y-x$ e $v= y+x$ y el Jacobiano es $-\frac{1}{2}$ pero tengo problemas para encontrar el rango de $u$ e $v$ para calcular la integral.

Answer 1

Comience por hacer un dibujo de su dominio. Se puede ver que el $v$ es a lo largo de la diagonal del primer cuadrante, y $u$ es a lo largo de la diagonal en el segundo cuadrante. También se puede ver que la línea entre la $(0,2)$ e $(2,0)$ es paralelo a $u$, y se intersecta $v$ eje $v=1$. Por lo $v$ varía entre $0$ e $1$ e $u$ varía entre $-v$ e $v$.

Answer 2

Su dominio es $$D=\{(x,y):0<x<2\,,\,0<y<2\,,\,x+y<2\}$ $

Uso del cambio de variables $(x,y)\to(u,v)$ con $$u=\frac{x-y}{x+y}\,,\,v=x+y$ $

La región ahora es $$R=\{(u,v):-1<u<1\,,0<v<2\}$ $

Por lo tanto,

\begin{align} \iint_D \exp\left({-\frac{x-y}{x+y}}\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y&=\frac{1}{2}\iint_R ve^{-u}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \\\\&=\frac{1}{2}\int_0^2v\,\mathrm{d}v\int_{-1}^1 e^{-u}\,\mathrm{d}u \end{align}

Answer 3

Álgebra computacional da (para el caso general):

$$ e \ left (x ^ 2 \ text {Ei} \ left (- \ frac {2 x} {x + y} \ right) - \ frac {y ^ 2 \ text {Ei} \ left (\ frac { 2 y} {x + y} \ derecha)} {e ^ 2} \ derecha) + \ frac {1} {2} e ^ {1- \ frac {2 x} {x + y}} (x + y ) ^ 2 $$

sobre su región especificada:

PS