Volumen de la hipérbola que gira en torno al eje y

Question

Intento calcular el volumen del sólido formado al girar la hipérbola ${x^2} - {y^2} = 1$ limitado por $x=1$ y $x=3$ sobre el eje y, sin embargo, no sé si estoy haciendo esto de la manera correcta usando cáscaras cilíndricas.

Utilizando el volumen de un sólido de revolución con el método de la cáscara cilíndrica donde el radio es ${x}$ y la altura es ${2\sqrt{x^2 - 1}}$ tengo la integral: $$\begin{eqnarray} V &=& 2 \pi \int_1^{3} [x (2\sqrt{x^2 - 1})] \, \textrm{d}x \\ &=& 4 \pi \left[ \frac{(x^2 - 1)^{3/2}}{3} \right]_1^{3} \\ &=& \frac{32\sqrt{8} \pi}{3} \\ \end{eqnarray}$$

Me gustaría saber si esta es la forma correcta de resolver este problema utilizando carcasas cilíndricas y si hay alguna otra forma de resolver el problema.

Answer 1

La forma en que planteas la integral parece correcta (es exactamente la misma forma en que yo la plantearía), pero creo que la has calculado ligeramente mal. Has olvidado que también tienes la parte inferior de la hipérbola. Por tanto, el volumen debería ser el doble.

$$V=2\cdot 2\pi\int_{1}^{3}x\sqrt{x^2-1}\,dx= \frac{4}{2}\pi\int_{1}^{3}\sqrt{x^2-1}\frac{d}{dx}(x^2-1)\,dx=\\ 2\pi\int_{0}^{8}\sqrt{u}\,du=2\pi\frac{2\sqrt{u^3}}{3}\bigg|_{0}^{8}= \frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{8^3}-\sqrt{0}\right)=\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}$$

Comprobación de Wolfram Alpha

Answer 2

Su solución es correcta.

Método 2: Utilizando integrales dobles.

Es decir, girando el gráfico alrededor del $y$ -podemos definir $y$ como una función de dos variables $y(x,z)=\sqrt{x^2+z^2-1}$ , para $y\ge 0$ . A continuación, defina una región

$$D=\{(x,z)\ |\ 1\le x^2+z^2 \le 9\}$$

Para obtener el volumen de la parte superior del cuerpo, evaluamos la integral

$$\iint\limits_D y(x,z)\ \text dx\ \text dz = \iint\limits_D \sqrt{x^2+z^2-1}\ \text dx\ \text dz$$

y para obtener el volumen total, simplemente lo multiplicamos por dos. La integral anterior se puede encontrar fácilmente usando coordenadas polares, y tenemos:

$$V = 2\int_0^{2\pi}\int_1^3 r\sqrt{r^2-1}\ \text dr\ \text d\theta$$

Método 3: El método de la lavadora.

Consideremos una arandela horizontal (anillo) con un grosor de $\text dy$ a una altura $y$ de la $x$ -eje. Su radio interior es $r_1 = \sqrt{1+y^2}$ y su radio exterior es $r_2 = 3$ . El volumen de la lavadora es $\text dV = (r_2^2-r_1^2)\pi$ . Para obtener el volumen total, hay que integrar los volúmenes de todas esas arandelas:

$$V=\int\limits_{-2\sqrt2}^{2\sqrt2} \pi(9-y^2-1)\ \text dy$$