¿Por qué la representación de grupos como operadores lineales proporciona información sobre los grupos mismos?

Question

Un aspecto importante de la teoría de grupos es cómo los grupos pueden ser representados como lineal de operadores que actúan en espacios vectoriales. Aunque entiendo cómo funciona esto y cómo el (al menos una base) son herramientas definidas, lo que me cuesta entender es por qué este tipo de cosas es tan útil.

A mi entender, trabajando en un grupo de la "representación" es como decir que los elementos del grupo se han "ascendido" de modo que ahora puedo "agregar" juntos, "multiplicar por escalares", y "actuar sobre otros vectores". En otras palabras, si antes sólo podía escribir cosas como $gh$ para $g,h\in G$, ahora puedo escribir cosas como $(\alpha g+h)v$ con $\alpha\in\mathbb F$ e $v\in V$.

Lo que me parece extraño es que ahora los resultados obtenidos mediante esta estructura se utiliza para deducir cosas acerca de los grupos originales. Por ejemplo, he leído en esta otra respuesta de cómo la clasificación de los grupos finitos "sería impensable sin la teoría de la representación", y en el aquí y aquí sobre muchas otras aplicaciones. No entiendo por qué esto debería ser así: ¿por qué la adición de "falso estructura" (como en, estructura que no estaba originalmente en el grupo en estudio) ayudan a clasificar a los grupos, o ayudar a la comprensión de los grupos de cualquier otra manera?

Para ser claro, no estoy preguntando por qué son las acciones de una parte importante de la teoría de grupo, como se hace por ejemplo en esta pregunta. Más bien, me pregunto por qué, específicamente, acciones en espacios lineales revelan tan útil. Lo que se trata de empoderar a un grupo con un adicional de abelian estructura (más escalares etc) que hace es tan útil para facilitar la comprensión acerca de la estructura del grupo en sí?

Yo también soy no preguntar por qué es el grupo de teoría de la representación importante o útil para aplicaciones, o por qué son los grupos. Más bien, estoy preguntando por qué, específicamente, la adición de una estructura lineal nos ayudan a entender mejor la estructura de los grupos.

Answer 1

Esta es una muy buena y buena pregunta. Confieso que durante mucho tiempo pensé que no había manera de que usted podría obtener un punto de vista de una representación que no se podía obtener a partir de lidiando con el propio grupo, directamente, simplemente porque todo lo que están haciendo está considerando un homomórfica de la imagen del grupo. Se tomó un largo tiempo para conseguir que a través de mi cabeza de que son realmente útiles.

El primer paso en el reconocimiento de que fue finalmente reconocer el uso de acciones del grupo, otro caso en el que mi sensación era de que no podía ganar cualquier nuevo conocimiento, dado que un grupo de acción asciende a una integración en un grupo simétrico. Poco a poco he llegado a entender que el grupo de acciones de darle una buena manera de entender un grupo, ya que permite pensar sobre el grupo como en la realización de algo, en contraposición a como una entidad abstracta. Usted puede utilizar la forma en que el grupo actúa para entender el grupo. Se puede utilizar para identificar a los subgrupos como estabilizadores, se puede utilizar para reconocer que algo no es normal por la acción de obras, etc. Se puede tomar un tiempo, pero resulta que se da otra forma de ver el grupo, y por supuesto el más maneras de pensar y mirar el grupo, mejor: se puede jugar uno contra el otro.

Una vez que usted reconoce que el grupo de acciones son una forma de entrar en el grupo, luego de vuelta a las acciones de un grupo que no en un conjunto, pero en un estructurado conjunto, y en particular las acciones que respetar la estructura. Que le da aún más asas en la acción. Y como sucede, transformaciones lineales son algunos de los mejor conocidos y más fructífera instancias de "acciones en un conjunto estructurado". Así que tratando de entender a los grupos a través de sus acciones en espacios vectoriales se convierte en algo para probar, lo que quiero tener.

Además de esto, existe otro importante de la filosofía en el álgebra: usted entiende un objeto algebraico mejor por la forma en que los mapas y los actos en otras cosas que al observar el objeto. Así que usted tendrá más suerte en la comprensión de un anillo por mirar a su categoría de módulos de simplemente mirando el anillo, y usted tiene más suerte en la comprensión de un grupo por considerar homomórfica imágenes del grupo y el grupo de acciones que con sólo mirar al grupo.

Una vez que se combinan esas cosas, al final con la idea de que quieres agregar estructurales asas para el grupo, ya que le da más "formas", lo que le ayuda a ver el grupo de "en acción" en lugar de como un conjunto estático objeto abstracto. Y que el mejor tipo de acciones que puedes mirar son los que actúan en conjuntos con un montón de estructura, y se entiende mejor. (Felix Klein, por ejemplo, quería grupos de estudio "sistemas de simetrías" de algunos objetos/geometría/etc).

Una vez que la tierra no lineal, las representaciones son una cosa obvia a tratar. Hay mucho de la estructura en la imagen que todavía se puede transportar de vuelta al grupo original que terminan siendo capaz de ganar una gran cantidad de información sobre el grupo por la forma en que actúa sobre espacios vectoriales.

Este enfoque demostró ser útil en una etapa temprana; hay dos famosos resultados que originalmente fueron probadas con la teoría de la representación, que tuvo mucho tiempo para demostrar sin (y que resultó que requieren una gran cantidad de muy fuerte maquinaria para probar sin): confieso que no recuerdo el segundo, pero el recuerdo siempre es Burnside s $p^{\alpha}q^{\beta}$ teorema, que no fue probado sin la teoría de la representación hasta después de la Extraña Orden Teorema, y con muchas de esas ideas y técnicas. Isaac libro reciente en Teoría de grupos (no el carácter de la teoría) puede ser visto como un libro-larga exposición de desarrollar una gran cantidad de estas herramientas con el objetivo de culminar con la representación de la teoría de la libre de la prueba.

Así que, ¿por qué este "nuevo" falso "estructura" nos ayuda a entender el grupo? Porque nos da más formas de mirar el grupo, más maneras de pensar acerca de los elementos del grupo, y una manera diferente de conceptualizar el grupo, no sólo como un conjunto con una operación, pero como un objeto que actúa sobre un objeto estructurado en el bien entendido de maneras.