Desafiante problema de álgebra lineal: n personas están de pie en un círculo

Question

Tenemos $n$ personas de pie en un círculo, cada uno ha escrito sobre su cabeza un número real, y la suma de los números en la cabeza de la gente es $M$. También nos dan ese $n$ es impar. Cada segundo, cada una de las personas que se elimina el número en su cabeza y lo reemplaza con el promedio de los números de sus vecinos. Definir el número en la cabeza de la i-esima hombre después de $k$ segundos $a_i(k)$. Mostrar que $lim_{k \to \infty} a_i(k) = M/n$.

Sugerencia: observe $T:\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ definido por $Te_i = e_{i+1}, Te_n=e_1$. Deje $\lambda_n$ ser una primitiva $n$'th raíz de la unidad.
A continuación, $(w_1,...,w_n)$ es eigenbasis donde $(w_i)_j = \lambda_n^{-(i-1)(j-1)}$ con autovalores $1,\lambda_n,\lambda_n^2,...,\lambda_n^{n-1}$. También es un eigenbasis para $T^{-1}$ con autovalores $1,\lambda_n^{-1},,,,\lambda_n^{-(n-1)}$
El uso que encontrar eigenbasis para $R = \frac{1}{2} (T+T^{-1})$. El uso que para resolver el problema.

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Yo lo hice todo en la pista y tengo que $w_1,...,w_n$ es eigenbasis para $R$ con autovalores $1,\cos(\theta),\cos(2\theta),...,\cos((n-1)\theta)$ donde $\theta = arg(\lambda_n)$, también me di cuenta de lo $R$ está relacionado con el problema: $R^k$ nos da el vector con el $a_i(k)$'s.
Ahora, toma el vector $v$ de la $a_i(0)$'s, y escribo como $v = \sum_{j=1}^{n}a_iw_i$.
Luego tenemos a $R^k(v)= \sum_{j=1}^{n}a_i\cos^k((j-1)\theta)w_i$. Ahora no sé cómo continuar.

Answer 1

El siguiente paso es darse cuenta de que cada autovalor de a$R$ es de menos de $1$ en valor absoluto, excepto para el autovalor $1$, que corresponde a la autovector $(1,...,1)$. Esto significa que el límite de $R^\infty=\lim_{k\to\infty}R^k$ existe y tiene el mismo eigenbasis, pero todos los autovalores son cero, excepto que el autovector $(1,...,1)$ todavía tiene autovalor $1$. Este único y determina $R^\infty$ como la transformación de $(z_1,...,z_n)\mapsto(z,...,z)$ con $z=(z_1+...+z_n)/n$, ya que esta transformación tiene el mismo eigenbasis y valores propios. Debido a $a_i(k)=(R^ka)_i$, el resultado de la siguiente manera.