Hallar el valor mínimo de una función sin utilizar el Cálculo

Question

Encontrar el valor mínimo de la función $f(x) = x^4 + \frac{1}{x^2}$ cuando $x \in \Bbb R^*$

Mi intento:

Encontrar el valor mínimo de esta función utilizando el cálculo es pan comido. Pero como esta pregunta apareció en mi examen cuando no se me enseñaba Cálculo, debe haber sin duda una manera (probablemente usando puramente Álgebra) de encontrar el valor mínimo de esta función sin usar Cálculo que desconozco.

Intenté hacer cuadrados perfectos pero eso no me llevó a ninguna parte. Tal vez, no estaba haciendo el cuadrado perfecto, perfecto :)

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Utiliza AM-GM: $$x^4+\frac1{x^2}=x^4+\frac1{2x^2}+\frac1{2x^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac1{4}},$$ la igualdad se produce cuando $x^4=\frac1{2x^2}=\frac1{2x^2} \Rightarrow x=\pm\frac1{\sqrt[6]{2}}$ .

Answer 2

Pista:

En $x^4,1/x^2>0$ utilizando Ponderado Forma de la desigualdad media aritmética-media geométrica

$$\dfrac{ax^4+bx^{-2}}{a+b}\ge\sqrt[a+b]{x^{4a-2b}}$$

Establecer $4a-2b=0\iff b=2a$

Answer 3

En primer lugar, el valor mínimo de $x$ es $b$ tal que $f(x) - b$ tiene una raíz (doble). (Es decir, la cantidad que debe desplazar la gráfica de $f$ hacia abajo para que se encuentre con el $x$ -eje una vez). Por tanto, buscamos un $b$ para que $f(x) - b = x^4 + \frac{1}{x^2} - b = 0$ tiene una raíz (doble). Observe $$ x^4 + \frac{1}{x^2} - b = \frac{x^6 - b x^2 + 1}{x^2} $$ tiene una raíz exactamente cuando su numerador la tiene. Así que ahora sólo necesitamos saber cuándo esa cúbica en $x^2$ tiene una raíz doble.

En discriminante de $(x^2)^3 - b(x^2) + 1$ es $$ -4(-b)^3 - 27 \cdot (1)^2 = 4b^3 - 27 \text{.} $$ El discriminante es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz doble. Tomando $b = \sqrt[3]{27/4} = \frac{3}{2^{2/3}}$ es la única opción que hace que el discriminante sea cero, por lo que el valor mínimo de $f$ es este $b$ .