¿Velocidad terminal de dos objetos de igual forma/tamaño con masas diferentes?

Question

He intentado investigar sobre esto y hay algunas preguntas similares. Sin embargo, tienen escenarios ligeramente diferentes y para asegurarme de que entiendo las cosas perfectamente, quería redactarlo con mis propias palabras y confirmar que mi proceso de pensamiento es correcto. Estoy volviendo a la física después de una década sin hacer nada remotamente relacionado, así que me gustaría asegurarme de que no estoy confundiendo las cosas.

Tenemos dos objetos que son exactamente iguales mismo tamaño y forma . Llamémosles A y B .
A es el doble de la masa de B .

Ambos se lanzan desde un avión al mismo tiempo.

¿Estoy en lo cierto si digo que desde B es la mitad de la masa de A alcanzará su velocidad terminal mucho antes, produciendo una aceleración 0 a partir de ahí.

A Por otro lado, seguirá acelerando hasta que la fuerza positiva de la resistencia del aire sea igual a su peso, momento en el que alcanzará su velocidad terminal y una aceleración 0.

A tendrá un mayor velocidad terminal y llegar al suelo antes que B porque A se aceleró durante un período de tiempo más largo.

Answer 1

Sí, aunque no creo que sea totalmente evidente que sus afirmaciones sean ciertas. Supongamos que el fuerza de resistencia en un objeto determinado es \begin{align} \mathbf F_\mathrm{drag} = -\frac{1}{2}\rho AC_dv\mathbf v \end{align} donde $\rho$ es la densidad de masa del fluido en el que se mueve, $A$ es su área de sección transversal, $C_d$ es su coeficiente de arrastre, $\mathbf v$ es su velocidad, y $v=|\mathbf v|$ es su velocidad. Entonces la Segunda Ley de Newton da la siguiente ecuación de movimiento para un objeto que cae cerca de la superficie de la Tierra bajo la influencia de la gravedad: \begin{align} ma = m g -\frac{1}{2}\rho AC_d v^2 \end{align} Para que la aceleración del objeto sea \begin{align} a = g - \frac{1}{2}\frac{\rho AC_d}{m}v^2 \end{align} En particular, para un área transversal fija, el aumento de la masa del objeto aumentará su aceleración porque el segundo término será de menor magnitud. Pero eso también significa que la velocidad del objeto aumentará más rápido, por lo que el segundo término crecerá más rápido; hay efectos que compiten entre sí. Entonces, ¿cuál gana? Pues bien, la ecuación del movimiento puede verse como una ecuación diferencial para la velocidad $v(t)$ en función del tiempo; \begin{align} \dot v(t) = g-\frac{1}{2}\frac{\rho AC_d}{m} v(t)^2 \end{align} Con la condición inicial $v(0) = 0$ Si el objeto se deja caer, la solución (gracias a Stephen Wolfram) es \begin{align} v(t) = \sqrt{\frac{2gm}{AC_d\rho}}\tanh\left(\sqrt\frac{AC_dg\rho}{2m}t\right) \end{align} Vamos a trazar esta función para algunos valores de masa diferentes, pero manteniendo todos los demás parámetros iguales

La curva azul más baja corresponde a la masa más baja, y cada curva sucesiva por encima de ella corresponde a una masa dos veces mayor que la de la última curva.

Está claro que las velocidades terminales de los objetos más masivos son mayores y que estas velocidades se alcanzan en un momento posterior. Además, una vez alcanzada la velocidad terminal, el objeto deja de acelerar.