¿Qué funciones$g$ satisfacen$\int_{-L}^{L} \frac{f(x)}{1 + g(x)}\:dx = \int_{0}^{L} f(x)\:dx$ para cada función par$f$?

Question

Como se ha cubierto en un número de preguntas en este sitio, no es un saber de propiedad de una sola variable real continua incluso las funciones de $f(x)$:

\begin{equation} \int_{-L}^{L} \frac{f(x)}{1 + e^x}\:dx = \int_{0}^{L} f(x)\:dx \end{equation}

para $L \in \mathbb{R}^+$ ser finito o infinito.

Al evaluar la prueba, no es una propiedad fundamental de la $g(x) = e^x$ que permite que esto ocurra, y que es:

\begin{equation} g(-x) = \frac{1}{g(x)} \end{equation}

Vemos esto vale no sólo para $e$ pero para cualquier $a \in \mathbb{R}^+$

Mi pregunta: fuera de $a^x$ hay verdaderos valores de las funciones de la de satisfacer esta condición?

Answer 1

Suponga que $g: \Bbb R \to \Bbb R \setminus \{ -1 \}$ es una función continua con $$ \tag 1 \int_{-L}^{L} \frac{f(x)}{1 + g(x)}\,dx = \int_{0}^{L} f(x)\,dx $$ para todos los $L > 0$ e incluso funciones continuas $f: [-L, L]\to \Bbb R$.

A continuación, en particular (selección de $f(x) = 1$) $$ \int_{-L}^{L} \frac{1}{1 + g(x)}\,dx = L $$ para todos los $L > 0$, y la diferenciación de este con respecto a $L$da $$ \frac{1}{1 + g(L)} + \frac{1}{1 + g(-L)} = 1 \iff g(L) g(-L) = 1 \, . $$ Por lo tanto $$ \tag 2 g(x) g(-x) = 1 $$ must hold for all $x \in \Bbb R$.

Ahora está claro que la $g$ no tiene ceros. También se $g(0)^2 = 1$ e $g(0) \ne -1$, por lo tanto, $g(0) = 1$. Desde que asumió $g$ a ser continua, $g(x)> 0$ para todos los $x \in \Bbb R$ sigue.

Por lo que podemos definir $h(x) = \log g(x)$. Sustituyendo esto en $(2)$da $$ h(x) + h(-x) = 0 $$ así que

$$ \tag 3 g(x) = e^{h(x)} \text{ for some odd continuous function $h$.}$$

Por otro lado, cada función de $g$ definido por $(3)$ satisface $(2)$, y, en consecuencia, $(1)$, por lo que es el más general (continua) de la solución.