Producto de tres enteros por cubo.

Question

Encuentre infinitos conjuntos de enteros positivos$n,a,b,c$ de tal manera que$$n^3<a<b<c<(n+1)^3\quad\hbox{and}\quad \hbox{$ abc$ is a cube},$ $ o pruebe que esto no se puede hacer.

Motivación: el problema correspondiente para los cuadrados no tiene solución. Es decir, si$$n^2<a<b<(n+1)^2\ ,$ $ entonces$ab$ no es un cuadrado. Esto es bastante fácil de probar. Por (y no completamente aleatorio) prueba y error encontré una solución al problema del cubo:$$n=5\ ,\quad a=128\ ,\quad b=144\ ,\quad c=162\ .$ $

Answer 1

Un estudio computacional

Para un valor fijo de n, parece que existen muchas soluciones. El numbes de soluciones para n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 son 3, 4, 6, 9, 14, 24, 18, 21, 26, 34 respectivamente.

Por ejemplo, para n = 5 tenemos las siguientes soluciones: [[196, 192, 126], [162, 144, 128], [200, 160, 128], [196, 189, 128], [169, 156, 144], [196, 168, 144], [192, 168, 147], [200, 180, 162], [196, 182, 169]]

Una interesante este a tener en cuenta es que estos números tienen relativamente pequeño de factores primos - no hay ningún número que aparece en una de estas soluciones tiene un factor primo mayor que 13.

Estas soluciones vienen desde el siguiente código en Python (is_perfect_cube viene de http://stackoverflow.com/a/23622115/1556369). Por desgracia, el tiempo de ejecución de este código va de O(n^6) por lo que es difícil para ejecutar búsquedas para la gran n.

def is_perfect_cube(n):
    c = int(n**(1/3.))
    return (c**3 == n) or ((c+1)**3 == n)

def solutions(n):
   return [[a, b, c] for c in range(n**3 + 1, (n+1)**3) for b in range(c+1, (n+1)**3) for a in range(b+1, (n+1)**3) if is_perfect_cube(a*b*c)]

Una familia infinita

La existencia de [196, 182, 169] al final de la lista para $n = 5$ $[1296, 1260, 1225]$ al final de una lista similar para $n = 10$, sugiere una posible familia infinita para mí. Estas son las $[14^2, 14 \times 13, 13^2]$ $[36^2, 36 \times 35, 35^2]$ respectivamente. Así que si tenemos $j, k$ tal que $n^3 < j^2 < k^2 < (n+1)^3$, $j^2, jk, k^2$ $a, b, c$ buscamos.

Tomando raíces cuadradas, necesitamos $n^{3/2} < j < k < (n+1)^{3/2}$. Así que para tener una solución con un valor dado de a $n$, basta disponer de $(n+1)^{3/2} - n^{3/2} \ge 3$ (por lo tanto, habrá al menos dos números enteros entre los números reales $n^{3/2}$$(n+1)^{3/2}$. Esto es para $n \ge 4$. Así, para cada $n \ge 4$, podemos encontrar dos plazas entre el $n^3$ $(n+1)^3$ y construir una solución de ellos. Si adoptamos la convención de que podemos elegir el más pequeño de tales plazas, obtenemos las soluciones

n = 4, a = 81, b = 90, c = 100

n = 5, a = 144, b = 156, c = 169

n = 6, a = 225, b = 240, c = 256

y así sucesivamente.