Ejemplo de un operador de clase no-trace

Question

Deje $H$ ser un complejo espacio de Hilbert. Para un operador $T: H \rightarrow H$ fijar una base ortonormales y definir el "valor absoluto" de $T$ como $$|T| = (TT^{*})^{\frac{1}{2}}$$

Decimos que el operador es un indicio de la clase de operador, si $\text{tr}(|A|) < \infty$, es decir, $$\sum{\langle |A|e_{i}, e_{i} \rangle} < \infty$$ for some $\{ e_{i} \}$ (and thus any) basis in $H$

Aquí $\langle \cdot, \cdot \rangle$ representa el producto interior en $H$).

Lo que sé es que existe una cadena de inclusiones: $$ \{ \text{finite rank operators} \} \subset \{ \text{trace class} \} \subset \{ \text{compact} \}$$

Es un ejemplo de un operador $S: H \rightarrow H$ tal que para alguna base $\{ e_{i} \}$ en $H$ de la suma siguiente $$ \sum{\langle Se_{i}, e_{i} \rangle} < \infty$$ converge, pero el operador no es un rastro de clase?

Me puede proporcionar la siguiente "contraejemplo": Deje $H = L^{2}([0, 1])$ con base $ \{ e^{i n x} \} $ y considerar la posibilidad de que el operador $T$ que se asigna $$ e^{i n x} \mapsto \frac{1}{n^{3}} \frac{d}{dx}(e^{i n x})$$

En realidad es una composición de operadores de $L^{2} \rightarrow l^{2} \rightarrow l^{2}$, donde la primera flecha representa el operador de la derivada y la segunda multiplicar cada elemento $a_{n}$ de la secuencia por $\frac{1}{n^{3}}$. Uno puede mostrar que este operador no es compacto (¿es cierto? debería, ya que el operador de la derivada no es compacto y la segunda flecha no ayuda a que la imagen no precompact conjunto precompact).

Yo reclamo que $\sum{\langle T (e^{inx}), e^{inx} \rangle} < \infty$, desde que la serie se $\sum{\frac{1}{n^{2}}} < \infty$, pero el operador no está de seguimiento de la clase, ya que de lo contrario sería compacto.

¿La mencionó el razonamiento no sea correcta? Si sí, ¿cómo uno puede fijar los detalles con el fin de prestar un correcto contraejemplo? Hay otros ejemplos que cumplen con los requisitos?

Answer 1

Considere el cambio unilateral correcto $S : \ell^2 \to \ell^2$ . Tenemos $Se_n = e_{n+1}$ así que $\sum_{n=1}^\infty \langle Se_n, e_n\rangle = 0$ .

Por otro lado, tenemos $S^*S = I$ así que $|S| = I$ . Sigue a $$\sum_{n=1}^\infty \langle |S|e_n, e_n\rangle = \sum_{n=1}^\infty \langle e_n, e_n\rangle = \infty$ $

así que $S$ no es una clase de rastreo.

Answer 2

Su operador compacto. Si usted representa en $\ell^2(\mathbb N)$, su $T$ actúa sobre la base canónica por $$ Te_n=\tfrac{i}{n^2}e_{n-1}. $$ Y este es compacto, porque es un límite finito-clasificación de los operadores. Es decir, si $$ T_kx=\sum_{|n|\leq k}\tfrac{i}{n^2}x_ne_{n-1}, $$ A continuación, $\|T_n-T\|\leq1/n^2$.

De hecho, su $T$ es también la clase de seguimiento. Usted tiene que $T^*$ está dado por $T^*e_n=-\tfrac{i}{n^2}e_{n+1}$. Entonces $$T^*Te_n=\tfrac1{n^4}e_n.$$ So $|T|$ is the operator given by $$|T|e_n=\tfrac1{n^2}e_n,$$ and $$\operatorname{Tr}(|T|)=\sum_n\frac1{n^2}<\infty.$$

Utilizando las ideas anteriores se puede jugar con la secuencia se utilizan en la definición de las $T$, como en $$ T_ae_n=a_n\,e_{n-1}, $$ donde $a\in\ell^\infty(\mathbb N)$. Esta $T_a$ siempre tendrá $\operatorname{Tr}(T)=0$, e $$|T|e_n=|a_n|\,e_n.$$ Lo,

• si $\sum_n|a_n|<\infty$, usted tendrá que $T$ es de traza de clase;

• si $\lim_n|a_n|=0$, usted tendrá que $T$ es compacto;

• si $\limsup_n|a_n| >0$, a continuación, $T$ no es compacto.