Ideales máximos en el anillo de funciones limitadas

Question

Tengo un rastrero sospecha de que esta es una pregunta estúpida, pero aquí va:

Considere la posibilidad de la respuesta dada por Eric Wofsey aquí. En particular, se establece que: "La diferencia entre el $C_b(X)$ $C(X)$ es que para $C_b(X)$, el resto de campos para todos estos máxima ideales son sólo $\mathbb{C}$..." donde, para nuestros fines, podemos simplemente tomar $X= \mathbb{R}$.

Mi pregunta es esta: ¿Cómo puede un ideal maximal $I \subseteq C_b(\mathbb{R})$ tener residuos de campo $\mathbb{C}$? Supongamos que este es el caso, por lo que el $C_b(\mathbb{R})/I \cong \mathbb{C}$. A continuación, $C_b(\mathbb{R})/I$ es algebraicamente cerrado, por lo que cualquier no-constante polinomio $p \in (C_b(\mathbb{R})/I)[x]$ tiene una raíz en $C_b(\mathbb{R})/I$. Considere entonces el polinomio dado por $p(x)= [1]+ [1]x^2$ donde $[1]$ es para ser interpretado como la "clase de equivalencia de la función constante $f(y)=1$". Este debe tener una raíz en $C_b(\mathbb{R})/I$ menos que sea constante. Supongamos que existe una raíz de $[f]$. A continuación,$[1]+[1][f]^2=[0]$, lo $[1+f^2]=[0]$, por lo tanto $1+f^2 \in I$. Pero $1+f^2(x) \geq 1>0$ todos los $x \in \mathbb{R}$, ya que el $f$ es un valor real. También, $\frac{1}{f^2+1}=(f^2+1)^{-1}$ es acotado, por lo $1+f^2$ es una unidad en $C_b(\mathbb{R})$. A continuación, $I$ contiene una unidad y por lo tanto no pueden ser máxima.

Por lo $p$ es constante entonces. Pero ese no puede ser el caso, porque entonces se podría tomar dos constantes de las funciones de $a, b$$a \neq b$$[1+a^2]=[1+b^2]$, lo $a^2-b^2 \neq 0$$a^2-b^2 \in I$, así que de nuevo $I$ contiene una unidad, contradiciendo maximality.

Debe haber algo mal con mi razonamiento anterior y agradecería si alguien pudiera punto de salir de mi error.

Answer 1

El error que estoy viendo es que la $f(x) \in C_b(\mathbb{R})$ no debe ser puramente un valor real. $C_b(\mathbb{R})$ como se define deben incluir valores complejos de funciones.

Más específicamente, ya sea que usted elija $C_b(\mathbb{R})$ a ser definida como real continua con valores delimitadas las funciones, en cuyo caso los residuos de máxima ideales es $\mathbb{R}$ en lugar de $\mathbb{C}$, y, por tanto, $1 + x^2$ no tiene raíz, o que usted elija para ser compleja y, a continuación, obtendrá el problema anterior.

Más en general, vamos a $C_b(X;F)$ indica que el anillo de continuo delimitado funciones en un Hausdorff superior. espacio de $X$ con los valores tomados en $F$, que es localmente compacto topológico de campo (tal vez con las condiciones adicionales que no puedo recordar, realmente este nivel de abstracción que no es mi fuerte). A continuación, los residuos de la máxima ideales pueden ser identificados con $F$.