Cómo probar que$ 1- \frac{x^2}{n} \leq (1+\frac{x}{n})^n\cdotp(1-\frac{x}{n})^n$

Question

¿Cómo puedo probar esta desigualdad (suponiendo que es cierto, es de un libro de texto)

$$1 - \frac{x^2}{n} \leq (1+\frac{x}{n})^n\cdotp(1+\frac{-x}{n})^n$$

si $n > |x|$, $x\in R$ y $n\in N$

Yo primero reescribió la desigualdad $$1 - \frac{x^2}{n} \leq (1-\frac{x^2}{n^2})^n$$I luego trató de manipular las desigualdades diciendo el lado derecho fue mayor que el de un menor de expresión, sin embargo yo era incapaz de probar la de arriba. También traté de inducción donde el caso base de obras, sin embargo yo era incapaz de demostrar que un caso verdadero implica la siguiente también es cierto.

Cualquier ayuda se agradece

Answer 1

$$1-\frac{x^2}{n}\overset{?}{\leq}\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^n$ $ es un buen punto de partida. Puede asumir$|x|<\sqrt{n}$, ya que de lo contrario la desigualdad es trivial, con la LHS no positiva y la RHS positiva.

Considere el logaritmo de ambos lados. Entonces:$$\log\left(1-\frac{x^2}{n}\right)\leq n\log\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)$ $ es una consecuencia de la desigualdad:$$\forall z\in[0,1),\qquad \log(1-z)\leq n\log\left(1-\frac{z}{n}\right)$ $ que se desprende del hecho de que:$$\int_{0}^{z}\frac{dx}{1-x}\geq\int_{0}^{z}\frac{dx}{1-\frac{x}{n}}$ $ desde$(1-x)\leq 1-\frac{x}{n}$.

Answer 2

Derivando ambos lados en$x$,$$-\frac{2x}{n}\le-n\frac{2x}{n^2}(1-x^2)^{n-1},$ $ o$$-1\le-(1-\frac{x^2}{n^2})^{n-1}.$ $ Esta última relación es obviamente cierta para$|x|<n$, de modo que el LHS de la relación inicial disminuye más rápido que el RHS, mientras que son iguales para$x=0$.

(Si lo prefiere,$l'(x)\le r'(x)\implies l'(x)-r'(x)\le0\implies l(x)-r(x)$ está disminuyendo$\implies l(x)-r(x)\le l(0)-r(0)=0\implies l(x)\le r(x)$.)