Sea$R$ el conjunto de todos los enteros con operaciones de anillo alternativas definidas a continuación. Muestra que$\Bbb Z$ es isomorfo para$R$.

Question

Para cualquier entero$a,b$, defina$a\oplus b=a + b - 1$ y$a\odot b=a + b - ab.$ Sea$R$ el anillo de enteros con estas operaciones alternativas. Muestra que$\Bbb Z$ es isomorfo para$R$.

Lo que pensé en hacer fue mostrar$f(a + b) = a + b - 1$, lo que significa que no es isomorfo ya que no es igual a$f(a)f(b)$. ¿Cierto?

Answer 1

Para establecer un isomorfismo, usted tendría que encontrar un mapeo $f:\Bbb Z \to R$ satisfacer la definición de un isomorfismo:

1. $f(a+b)=f(a)\oplus f(b)$
2. $f(ab)=f(a)\odot f(b)$
3. $f$ uno-a-uno y en (que sólo podría encontrar una relación inversa entre la homomorphism)

Vas a tener que venir con un candidato para $f$.

Mi primera sugerencia sería la de mirar a $a\odot 1$ $a\odot 0$ y $a\oplus 1$. $0$ y $1$ son "especiales" en $R$, y si a clasificar lo que están haciendo en la nueva operación, se puede deducir que el derecho $f$ a recoger.

Answer 2

Oficialmente, primero ha de mostrar que $R$ es de hecho un anillo, antes de que usted puede ir sobre la que muestra todo lo que implique $R$ es un anillo homomorphism. Sin embargo, si usted tiene un candidato bijection $f$ con otro (conocido) del anillo, en este caso $\Bbb Z$, lo que significa que satisface $f(x+y)=f(x)\oplus f(y)$$f(x\times y)=f(x)\odot f(y)$, como se indica en la respuesta por rschwieb, entonces usted puede hacer un poco de trampa porque $f$ se traduce todas las operaciones de $\Bbb Z$ en los de$~R$, y sus propiedades vienen con ellos. Por ejemplo, la comprobación de la izquierda distributiva de la ley en $R$ se puede hacer como $$ \begin{aligned} a\odot(b\oplus c) &=f(x)\odot(f(y)\oplus f(z)) =f(x)\odot(f(y+z)) =f(x\times(y+z))\\ &=f(x\times y+x\times z) =f(x\times y)\oplus f(x\times z)\\ &=(f(x)\odot f(y))\oplus(f(x)\odot f(z)) =(a\odot b)\oplus(a\odot c), \end{aligned} $$ donde $x,y,z\in\Bbb Z$ son tales que $f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c$ (lo cual está bien definido desde $f$ es un bijection). Aunque parece un poco complicado, es solo transfiere la responsabilidad de la distribución de la ley de $R$ $\Bbb Z$(para la que se utiliza en el medio de la computación). Así que nada de lo que realmente está pasando. Los otros axiomas se puede comprobar de manera similar sin esfuerzo.

Esto supone un candidato $f$, pero también se que usted sabe el neutro elementos para$\oplus$$\odot$, que debe ser elegido como $f(0)$ $f(1)$ respectivamente (es parte de los requisitos para homomorphisms). Usted puede fácilmente deducir, a partir de las definiciones de $\oplus$ $\odot$ que estos neutral elementos. Una vez que usted consiguió, usted sabe que $f(0)$$f(1)$, y otros valores que se siga, como $f(2)$ el cual debe ser $f(1+1)=f(1)\oplus f(1)$. Verá que es cuesta abajo desde allí.

Answer 3

Bueno OP elige$f(x) = -x + 1$. Para probar el isomorfismo, mostraremos$$f(a*_1b) = f(a)*_2f(b)$$ under addition and multiplication. Thus, we have for $ a, b \ in \ mathbb {Z} $,

$$f(a)*_2f(b) = (-a + 1) + (-b + 1) - 1 = -(a + b) + 1 = f(a*_1b)$ $ y$$f(a)*_2f(b) = (-a + 1) + (-b + 1) - (ab-(a+b)+1) = -(a + b) + 2 - ab + (a + b) - 1 = -ab + 1 = f(a*_1b)$ $

Como puede ver OP, se trata de encontrar una función por prueba y error, descubrir si se trata de preservar la operación y realizar álgebra de escuela secundaria simple. En caso de que no esté seguro, puede verificar si$f(e_G) = e_H$, por ejemplo.