$\lim_{x\to0}{\left(\frac{\sin(x)}x\right)}^{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}}$

Question

Necesito ayuda para resolver este límite:

PS

Lo siento, soy nuevo en la página y no sé cómo introducir los datos de la manera correcta.

introduzca la descripción de la imagen aquí

Answer 1

Sugerencia. Uno puede usar una expansión en series de Taylor, como $x \to 0$, para obtener $$ \frac{\sin x}x=1-\frac{x^2}6+o(x^2) $$ dando $$ \ln \left(\frac{\sin x}x\right)=-\frac{x^2}6+o(x^2) $$ y $$ \frac{\sin x}{x-\sin x}\cdot\ln \left(\frac{\sin x}x\right)=\frac{1}{\frac{x}{\sin x}-1}\cdot\ln \left(\frac{\sin x}x\right)=\frac{1}{\frac{x^2}6+o(x^2)}\cdot \left(-\frac{x^2}6+o(x^2)\right) $$ then, as $x \to 0$, $$ \frac{\sin x}{x-\sin x}\cdot\ln \left(\frac{\sin x}x\right)\a \color{red}{-1} $$ and, as $x \to 0$, $$ {\left(\frac{\sin(x)}x\right)}^{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}} \e^\color{red}{{-1}}. $$

Answer 2

Dejar

$$ 1 + t = \ frac {\ sin x} {x}. $$ Luego $$ \ frac {- (1 + t)} {t} = \ frac {\ sin x} {x - \ sin x}. $$

Por lo tanto, podemos reescribir su límite original a algo que reconocemos.

$$ \ lim_ {x \ to 0} \ left (\ frac {\ sin x} {x} \ right) ^ {\ frac {\ sin x} {x - \ sin x}} = \ lim_ {t \ to 0} \ left (1 + t \ right) ^ {\ frac {- (1 + t)} {t}} = \\ \ lim_ {t \ to 0} (1 + t) \ cdot \ lim_ {t \ a 0} (1 + t) ^ {- 1 / t} = e ^ {- 1}. $$

Answer 3

Dejemos$$A=\lim _{ x\to 0 }{ \left( \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x } \right) } ^{ \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x-\sin { \left( x \right) } } }$ $ luego aplicando la regla de L'Hospital que tenemos

$$\\ \log { A } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x-\sin { \left( x \right) } } \log { \left( \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x } \right) } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { 1 }{ \frac { x }{ \sin { \left( x \right) } } -1 } \log { \left( \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x } \right) } } \overset { L'hospital's }{ = } \\ =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { x }{ \sin { \left( x \right) } } \cdot \frac { \cos { \left( x \right) x-\sin { \left( x \right) } } }{ { x }^{ 2 } } }{ \frac { \sin { \left( x \right) -x\cos { x } } }{ \sin ^{ 2 }{ \left( x \right) } } } } =\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { \cos { \left( x \right) x-\sin { \left( x \right) } } }{ { x } } }{ \frac { \sin { \left( x \right) -x\cos { x } } }{ \sin { \left( x \right) } } } } =-\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x } =-1 } \\ $ $ Así que

PS

Answer 4

$$ \begin{align} L &= \lim_{x\to 0}{ \left( \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x } \right) } ^{ \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x-\sin { \left( x \right) } } }\\ \log { L }&=\lim_{ x\rightarrow 0 } \frac { \sin { \left( x \right) } }{ x-\sin { \left( x \right) } } \log\left(\frac{\sin \left(x\right)}x \right) \\ &=\lim_{ x\rightarrow 0 } \frac { \sin {\left(x\right)}}{ x-\sin { \left( x \right)}} \log \left(1+ \frac {\sin\left(x\right)}{x}-1 \right)\\ &=\lim_{ x\rightarrow 0 } \frac { \sin \left( x \right) }{ x-\sin \left( x \right) } \log\left(1+ \frac {\sin \left( x \right)-x}{x} \right) \\ &=\lim_{ x\rightarrow 0 } \frac { \sin \left( x \right) }{ x-\sin \left( x \right) } \frac { \sin\left( x \right)-x }{x} \\ &=-1\\ \log L&=-1 \implies L=e^{-1} \end {align} $$

Answer 5

Ponga$X=\frac {\sin (x)}{x} $ y calcule$$\lim_{X\to 1}X^{\frac {X}{1-X}} $ $

PS

$$=\lim_{X\to 1}e^{\frac {X}{1-X}\ln (X)} $ $ porque

PS