Al mostrar que si$f_n \to f, g_n \to g$ en$L^p$ entonces$max(f_n, g_n) \to max(f, g)$ en$L^p$

Question

Deje que$(f_n)$ y$(g_n)$ sean dos secuencias en$L^p(\Omega)$ con$1 \leq p < \infty$ de tal manera que$f_n \to f$ en$L^p(\Omega)$ y$g_n \to g$ en$L^p(\Omega)$. Deje$h_n = max(f_n, g_n)$ y$h = max(f, g)$. Mostrar que$$h_n \to h \;\; \text{in} \;\; L^p(\Omega).$ $

¿Puede alguien por favor darme una pista?

$f_n \to f$ en$L^p$:$\|f_n - f\|_p \to 0$

$g_n \to g$ en$L^p$:$\|g_n - g\|_p \to 0$.

¿Cómo mostrar que$\|h_n - h\|_p \to 0$? ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: $$ \ max (a, b) = \ frac {a + b + | ab |} {2}, \ quad a, b \ in \ mathbb {R}. $$