Conexión de la teoría de la probabilidad abstracta con las distribuciones simples

Question

Supongamos que tengo el espacio de probabilidad $(X,\mathcal{E},P)$ y una variable aleatoria $u : X \to \mathbb{R}$ . $u$ induce una probabilidad $Q (B) = P (u^{-1}(B))~\forall B \in \mathcal{B}$ el Borel $\sigma$ -álgebra en $\mathbb{R}$ y podemos considerar un nuevo espacio de probabilidad $(\mathbb{R},\mathcal{B},Q)$ .

Ahora, tengo problemas para conectar esta teoría con las aplicaciones prácticas. Por ejemplo, ¿puedo dejar que $u$ sea una Variable Aleatoria Normal Estándar? Si es así, la expectativa de $u$ se define como $E[u] = \int\limits_X u dP$ . ¿Cómo equivale esto a $\int\limits_{\mathbb{R}} x f(x) dx$ donde $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ ?

Supongo que hay que poner en juego la medida inducida junto con algún teorema de Radon-Nikodym para demostrarlo pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias, Phanindra

Answer 1

La definición de medida inducida puede expresarse como una igualdad de integrales sobre los dos espacios de probabilidad $$\int_\Omega 1_B(u(\omega))\, P(d\omega) = \int_\mathbb{R} 1_B(x)\, Q(dx).$$

Esta ecuación es cierta para todo conjunto de Borel $B$ y puede extenderse a todos los funciones medibles acotadas de Borel $g$ eso es, $$\int_\Omega g(u(\omega))\, P(d\omega) = \int_\mathbb{R} g(x)\, Q(dx).$$

Siempre que la media de $u$ existe, se puede utilizar el truncamiento y la convergencia dominada para extender esto a la función no limitada $g(x)=x$ y concluir que $$\int_\Omega u(\omega)\, P(d\omega) = \int_\mathbb{R} x\, Q(dx).$$

Si la variable aleatoria $u$ tiene una función de densidad $f$ , entonces la integración con respecto a $Q(dx)$ puede sustituirse por la integración con respecto a $f(x)\,dx$ para que la media sea $E(u)=\int_\mathbb{R} x f(x)\,dx$ .

Este hecho se expresa a veces con una terminología divertida: la ley del estadístico inconsciente .