Enrejados de un polígono.

Question

Considere los cuatro celosía de polígonos a continuación. Cada forma es a través de las coordenadas.

Si refleja o se volcó en los principales ejes y diagonales, estos cuatro polígonos siguen siendo diferentes. Sin embargo, este es el mismo polígono de cada momento. Las tres últimas son las rotaciones de la primera, con la rotación de la matriz construida a partir de la arctan de diferentes terna pitagórica basado en las fracciones: -12/5, 63/16, y 4/3.

Una forma de determinar si un entramado polígono tiene una diferente de rotación de la incrustación es aplicar todas las arctan de pitágoras fracción de rotación de las matrices y a ver si los puntos estancia en el enrejado. Hay un método más fácil?

Answer 1

Encontrar todos los polígonos tener la misma rotación de la incrustación, como un determinado polígono $p$, vamos a $r$ ser la longitud del lado más corto de $p$ y considerar todos los celosía puntos de $P$ tirado en el círculo de centro $O=(0,0)$ y radio de $r$. Los segmentos de $OP$ son todas las posibles rotaciones del lado más corto de $p$: a continuación, debe comprobar si el mismo rotaciones, se aplican a los otros vértices, los llevan a la celosía puntos.

En el diagrama a continuación he aplicado esta técnica a su primer polígono (azul) con algunos girado polígonos sombreados en gris: en este caso hemos tenido la suerte de todos los posibles girado polígonos están permitidos. Observe que usted necesita sólo verificar las rotaciones de hasta 90°.

Answer 2

Usted puede codificar un polígono por los datos de $(\ell_1, \cos\theta_1, \ell_2, \cos\theta_2, \ldots,\ell_n,\cos\theta_n)$ donde $\ell_i$ es el lado de la longitud de la $i$-th lado, y $\theta_i$ el (unsigned) el ángulo entre el $i$-th y $(i+1)$-th lados.

Las longitudes y los cosenos de los ángulos son computables a partir de los datos de la lattic coordenadas. Por ejemplo, en el ejemplo se tienen los datos $$(\sqrt{65},-\frac1{\sqrt{2}},\sqrt{130},0, \sqrt{130}, \frac1{\sqrt{10}}, \sqrt{325}, \frac1{\sqrt{5}}).$$

Dos convexo* polígonos son congruentes si y sólo si esta asociada a los datos es la misma, hasta un cíclica cambio o reversión.

*Si los polígonos no convexos, esto no necesariamente va a funcionar. Pero en esos casos, puede ser claro de simplemente echando un vistazo a las formas.

Answer 3

Una forma de verificar la congruencia es calcular las longitudes de seis cuadrados entre vértices para cada cuadrilátero. Si dos cuadriláteros tienen el mismo conjunto de longitudes, son congruentes.