¿Cuál es la definición de un timelike y spacelike singularidad ?
Intento encontrar, pero aún no lo he conseguido, cuáles son las definiciones.
Una singularidad es una condición en la que las geodésicas son incompletas. Por ejemplo, si te dejas caer en un agujero negro, tu línea del mundo termina en la singularidad. No es sólo que te destruyas. Tú (y las partículas subatómicas de las que estás hecho) no tenéis futuras líneas del mundo. Una definición cuidadosa de la incompletitud geodésica es un poco complicada, porque queremos hablar de geodésicas que no pueden extenderse más allá de una cierta longitud, pero la longitud se mide por la métrica, y la métrica se vuelve loca en una singularidad, de modo que la longitud se vuelve indefinida. La forma de evitar esto es utilizar un parámetro afín, que puede definirse sin una métrica. Geodésica incompleta significa que existe una geodésica que no puede extenderse más allá de un cierto parámetro afín. (Esto también cubre las geodésicas ligeras, que tienen longitud métrica cero).
Existen dos tipos de singularidades, las de curvatura y las cónicas.
La singularidad de un agujero negro es un ejemplo de singularidad de curvatura; al acercarse a la singularidad, la curvatura del espaciotiempo diverge hasta el infinito, medida por una invariante de curvatura como el escalar de Ricci. Otro ejemplo de singularidad de curvatura es la singularidad del Big Bang.
Una singularidad cónica es como la de la punta de un cono. Las geodésicas son incompletas allí, básicamente porque no hay forma de decir en qué dirección debe ir la geodésica una vez que llega a la punta. En la RG de 2+1 dimensiones, la curvatura desaparece idénticamente, y el único tipo de gravedad que existe son las singularidades cónicas. No creo que las singularidades cónicas sean importantes en nuestro universo, por ejemplo, no creo que puedan formarse por colapso gravitatorio.
Las singularidades reales que implican la incompletitud geodésica deben distinguirse de las singularidades de coordenadas, que en realidad no son singularidades en absoluto. En el espaciotiempo de Schwarzschild, tal como se describe en las coordenadas originales de Schwarzschild, algunos componentes de la métrica explotan en el horizonte de sucesos, pero no se trata de una singularidad real. Este sistema de coordenadas puede sustituirse por otro en el que la métrica se comporte correctamente.
La razón por la que los escalares de curvatura son útiles como pruebas de una singularidad de curvatura real es que, como son escalares, no pueden divergir en un sistema de coordenadas pero permanecer finitos en otro. Sin embargo, no son pruebas definitivas, por varias razones: (1) un escalar de curvatura puede divergir en un punto que está a una distancia afín infinita, por lo que no causa incompletitud geodésica; (2) los escalares de curvatura no detectarán singularidades cónicas; (3) hay infinitos escalares de curvatura que se pueden construir, y algunos podrían explotar mientras que otros no. En el libro en línea de Winitzki, sección 4.1.1, se da un buen tratamiento de las singularidades.
La definición de singularidad se trata en WP y en todos los libros de texto estándar de RG. Supongo que el verdadero problema con el que estabas luchando era la definición de semejanza temporal frente a semejanza espacial.
En la RG, una singularidad no es un punto en un espaciotiempo; es como un agujero en la topología del múltiple. Por ejemplo, el Big Bang no ocurrió en un punto. Dado que una singularidad no es un punto o un conjunto de puntos, no se puede definir su carácter temporal o espacial del mismo modo que se haría, por ejemplo, con una curva. Una singularidad temporal es aquella que se encuentra en el cono de luz futuro de un punto A, pero en el cono de luz pasado de otro punto B, de modo que una línea del mundo temporal puede conectar A con B. Las singularidades de los agujeros negros y del Big Bang no son temporales, sino espaciales, y así es como se muestran en un diagrama de Penrose. (Obsérvese que en la métrica de Schwarzschild, las coordenadas r y t de Schwarzschild intercambian sus caracteres de semejanza temporal y espacial dentro del horizonte de sucesos).
Hay cierta variedad en las definiciones, pero una singularidad temporal es esencialmente lo que la gente entiende por una singularidad desnuda. Es una singularidad que puedes tener sentada en tu escritorio, donde puedes mirarla y pincharla con un palo. Para más detalles, véase Penrose 1973. Además de la definición local que he dado, también hay una noción global, Rudnicki, 2006, que consiste esencialmente en que no está oculta tras un horizonte de sucesos (de ahí el término "desnuda"). Lo que se está formalizando es la noción de una singularidad que puede formarse por colapso gravitatorio a partir de condiciones iniciales no singulares (a diferencia de una singularidad del Big Bang), y de la que pueden escapar señales hacia el infinito (a diferencia de una singularidad de agujero negro).
Penrose, Gravitational radiation and gravitational collapse; Actas del Simposio, Varsovia, 1973. Dordrecht, D. Reidel Publishing Co. pp. 82-91, gratis en línea en http://adsabs.harvard.edu/full/1974IAUS...64...82P
Rudnicki, Generalized strong curvature singularities and weak cosmic censorship in cosmological space-times, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606007
Winitzki, Temas de relatividad general, https://sites.google.com/site/winitzki/index/topics-in-general-relativity
Excelente. Sí, mi pregunta principal era lo que explicaste en tus dos últimos párrafos, no lo que era el espaciotiempo singular, pero eso también está muy bien escrito.
Afirmaciones como "hay dos tipos de singularidades, las de curvatura y las cónicas", son realmente anticuadas y, aunque su intención era admirable, tales comentarios enseñan muchas más cosas erróneas que correctas. Muchas singularidades, por ejemplo en conifolds, mezclan de forma importante la curvatura singular y la estructura cónica, la curvatura singular es casi omnipresente, mientras que el carácter cónico puede ser tan inusual que la singularidad no es cónica en un sentido útil.
Pero la razón principal por la que he votado a la baja esto es que usted pretende la curva-como la definición de spacelikeness o timelikeness de singularidades como colectores (en el espacio coordniate) a ser insuficientemente rigurosa y precisa - pero lo que usted en realidad sustituido esta definición evidente por es pura palabrería sobre objetos en la mesa y referencias circulares a otras frases como singularidades desnudas. Esto no explica ni responde a nada. El OP y cualquier otra persona no puede entender por qué no colocar una singularidad del Big Bang o una singularidad de Schwarzschild "sobre la mesa" o desnudarla.
Las singularidades temporales y espaciales son conjuntos de puntos del espaciotiempo en los que alguna invariante de curvatura, como un polinomio escalar construido a partir del tensor de Riemann, diverge (pero todas las invariantes son finitas en todos los puntos cercanos a la singularidad que no pertenecen a ella), de modo que los puntos cercanos del conjunto están separados temporal o espacialmente, respectivamente.
Así que uno puede entender lo que es una singularidad temporal o espacial entendiendo las palabras "temporal", "espacial" y "singularidad" por separado. No hay nada realmente nuevo en las frases; el todo es más o menos la suma de sus partes. Una singularidad es un múltiple -submúltiple del espaciotiempo- y la espacialidad y la temporalidad se determinan igual que para cualquier curva o superficie, etc., del espaciotiempo, a partir del signo de $ds^2$ .
Cuando la dimensión del conjunto singular es mayor que uno, la verdadera temporalidad o espacialidad es más complicada y hay que hablar de la firma completa: número de direcciones positivas, negativas y nulas en el espacio. Sigue siendo cierto que cuando al menos algunas direcciones a lo largo del conjunto son semejantes en el tiempo, la gente probablemente la llamará singularidad semejante en el tiempo, aunque sea mixta.
Gracias, eso ayuda. Mi problema era que el nombre de singularidad semejante al tiempo me inducía a pensar que se refería a una singularidad debida a la incompletitud de las geodésicas semejantes al tiempo, por ejemplo el centro de un agujero negro de Schwarzschild, mientras que todo el mundo se refiere a ellas como semejantes al espacio. Gracias de nuevo.
Una pregunta más, ¿qué pasa si es sólo un punto, entonces no se puede decir que los puntos cercanos en el conjunto son spacelike/timelike?
Una singularidad no es un múltiple. Por ejemplo, la singularidad de un agujero negro no es un conjunto de puntos. Topológicamente, la singularidad es algo que falta en la variedad. Por eso no se puede decir que una singularidad sea un submanifold del espaciotiempo y describir su carácter temporal o espacial como se haría con un conjunto de puntos. Como explico en mi respuesta, por eso la definición es un poco más delicada, y tiene que hacerse en términos de conos de luz de puntos cercanos.
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