Probando $\max$ de $a, b$ .

Question

¿Cómo puedo demostrar que $$\max{\{a, b\}} = \frac{a + b + \left | a - b \right |}{2}$$

No tengo ni idea de cómo empezar la prueba, cualquier idea / intuición que me haga empezar se agradece mucho.

Gracias por leer mi post.

Answer 1

Una forma complicada es notar que \begin{align*} \max(a,b) + \min(a,b) &= a+b \\ \max(a,b) - \min(a,b) &= |a-b| \\ \end{align*}

Sumando estas dos ecuaciones tenemos $$2 \max(a,b) = a+b + |a-b|$$ y su resultado es el siguiente.

Answer 2

• Si $a\geq b$ entonces $|a-b| = a-b$ y $\max\{a,b\} = a$ . Ahora, simplifica la expresión que quieres demostrar.
• Si $b\geq a$ Entonces creo que puedes terminar la frase.

Answer 3

La intuición detrás de esto es la siguiente. Escriba el lado derecho como $$\frac{a+b}{2}+\frac{|a-b|}{2}$$ Ahora el primer término $\dfrac{a+b}{2}$ te lleva exactamente al punto medio entre $a$ y $b$ . Por ejemplo, si los números $a,b$ son $5,10$ entonces esto te lleva a $7.5$ . Por lo tanto, para alcanzar el máximo de los dos hay que sumar la mitad de su distancia, o en símbolos $$+\frac{d(a,b)}{2}$$ En nuestro ejemplo sería $5/2=2.5$ y de hecho $7.5+2.5=10$ es el máximo de los dos números. Ahora, tienes que saber que la distancia $d(a,b)$ de dos números $(a,b)$ viene dada por el valor absoluto de su diferencia Es decir $d(a,b)=|a-b|$ que te da el resultado.

Lamentablemente esta expresión no admite una generalización para $3$ o más números.