Ejercicio a-30 en Milne y Campos de Galois de la Teoría de las notas es:
Deje $L/K$ ser un separables extensión algebraica de grado $d$. Muestran que el número de campos entre el $K$ $L$ es en la mayoría de las $2^{d!}$.
Milne respuesta (estoy añadiendo los detalles):
Por el primitivo elemento teorema, podemos escribir $L=K[\alpha]$. Deje $f(X)\in K[X]$ ser el polinomio mínimo de a$\alpha$$K$. Entonces, tenemos $\deg(f)=d$. Por lo tanto, la división de campo de $E$ $L$ $f$ es de grado en la mayoría de las $d!$$K$. Por lo tanto, $G=\text{Gal}(E/K)=[E:K]\leq d!$. Por eso, $G$ tiene más de $2^{d!}$ subconjuntos, y por lo tanto, en la mayoría de las $2^{d!}$ subgrupos. Por el teorema fundamental de la teoría de Galois, esto significa que hay en la mayoría de las $2^{d!}$ intermedio de los campos.
Mi respuesta:
Una mejor obligado es posible! Hay en la mayoría de las $2^d$ intermedio de los campos. La prueba: una vez más, por los primitivos elemento teorema, podemos escribir $L=K[\alpha]$. Deje $f(X)$ ser el polinomio mínimo de a$\alpha$$K$. De nuevo, es de grado $d$. Ahora nos imitar la prueba de la Proposición 5.3 de las notas: Tomar un intermedio de campo $K\subset M\subset K[\alpha]$. Deje $g(X)\in M[X]$ ser el polinomio mínimo de a $\alpha$ $M$ con coeficientes de $a_0,\dotsc,a_n$. Deje $M'=K[a_0,\dotsc,a_n]$. A continuación, $M'\subset M$ $g(X)$ es el polinomio mínimo de a$\alpha$$M'$. Esto significa que $[L:M']=[L:M]=\deg(g(X))$, y por lo $M=M'$. Hemos visto que cada intermedio campo $M$ está determinado por un factor de $f(X)$. Por lo tanto, el número de intermedios campos es mayor el número de factores de $f(X)$. Desde $\deg(f(X))=d$, este número se encuentra en la mayoría de los $2^d$ (porque no se $2^d$ subconjuntos de las raíces de la $\alpha$).
Mi pregunta:
Es mi mejorado obligado (y su prueba) correcto?
