Inducción sobre desigualdades (una suma menor que un valor determinado)

Question

Intento resolver esta desigualdad por inducción. Acabo de empezar a aprender la inducción esta semana y todas las desigualdades que nos han resuelto eran como una ecuación menor que otra ecuación (por ejemplo $n! \geq 2^n$ ) Así que estoy confundido cómo demostrar una desigualdad que es menor que un valor particular como el siguiente problema? Gracias de antemano.

$$\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{n^2}<2$$

Answer 1

Un hecho útil sobre las pruebas por inducción es que a veces es más fácil demostrar un resultado más fuerte. Este es el caso que nos ocupa. Dejemos que $$s_n=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{n^2}\;.$$

Entonces

$$\begin{align*} 2-s_1&=1\ge 1\;,\\ 2-s_2&=\frac34\ge\frac12\;,\\ 2-s_3&=\frac34-\frac19=\frac{23}{36}\ge\frac13\;,\text{ and}\\ 2-s_4&=\frac{23}{36}-\frac1{16}=\frac{83}{144}\ge\frac14\;. \end{align*}$$

Estas cifras $1,\frac34,\frac{23}{36}$ y $\frac{83}{144}$ son las "cantidades de espacio" que quedan entre $s_1,s_2,s_3$ y $s_4$ por un lado, y el límite de $2$ en el otro. No parece que se reduzcan muy rápido: $\frac{83}{144}$ sigue siendo $0.5763\overline{8}$ . Parece que podrían reducirse más lentamente que la secuencia simple $1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\;$ ciertamente lo son hasta ahora, y tenemos

$$\begin{align*} s_1&=1\le 2-1\;,\\ s_2&\le 2-\frac12\;,\\ s_3&\le 2-\frac13\;,\text{ and}\\ s_4&\le 2-\frac14\;. \end{align*}$$

Esto sugiere que tal vez $s_n\le 2-\dfrac1n$ para todos $n\ge 1$ . De ser cierto, eso implicaría ciertamente que $s_n<2$ .

SUGERENCIA: Intenta demostrar por inducción que $s_n\le 2-\dfrac1n$ para $n\ge 1$ . Tenga en cuenta que $$s_{n+1}=s_n+\frac1{(n+1)^2}<s_n+\frac1{n(n+1)}$$ (¿por qué?): esto será útil para la etapa de inducción.

Answer 2

Sugerencia : En lugar de intentar demostrar que

$$\dfrac{1}{1^2}+ \dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2} < 2,$$

Intenta, en cambio, demostrar la desigualdad más fuerte

$$\dfrac{1}{1^2}+ \dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2} \le 2-\dfrac{1}{n}.$$

Esto se hace fácilmente por inducción.

Pista 2 : La desigualdad $\dfrac{1}{(n+1)^2} < \dfrac{1}{n(n+1)}$ será útil.

Answer 3

$$\frac{1}{k^2}＜\frac{1}{k(k-1)}$$

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}＜1+\frac{1}{2(2-1)}+\cdots+\frac{1}{n(n-1)}=2-\frac{1}{n}＜2$$