¿Se unen los viajes y la suspensión?

Question

¿La unión y la suspensión de los espacios topológicos siempre conmutan, es decir, es verdad que$\sum(A\star B)=A\star(\sum B)$?

Supongo que no es cierto en general (pero, por ejemplo, todo funciona en el caso de dos esferas), pero tal vez haya un epimorfismo de un espacio a otro.

Answer 1

Estoy lidiando con el sin diluir la suspensión de $SX=X\times[-1,1]/((x,t)\sim(x',t)\forall x,x'\in X,t=\pm1)$

Veamos primero el caso de $A=B=\{*\}$. A continuación, la combinación de $A$ $B$ es un intervalo de $I$, y su suspensión es el espacio $SI$, una plaza con cada uno de la parte superior y la parte inferior de la línea identificado a un punto. Uno puede pensar en esto como el espacio $$Y=\{(s,t)\mid |t|\le s\le 1\}$$ y un homeomorphism $SI\to Y$ está dado por el mapa $$(s,t)\mapsto(1-(1-s)(1-|t|),t)$$ Por otro lado, La suspensión de $B$ es un intervalo de $[-1,1]$, y sus unirse con $A$ es un cono $C[-1,1]$ durante ese intervalo. Un homeomorphism $C[-1,1]\to Y$ está dado por $$(t,s)\mapsto(s,st)$$

Así que hay una homeomorphism $h:SI\to C[-1,1]$. Su composición con el cociente mapa de $I\times[-1,1]\to SI$ factores como $$I\times[-1,1]\xrightarrow f [-1,1]\times I\to C[-1,1]$$ con la discontinua $f$ siendo definido por $$f(s,t)=(f_t(s,t),f_s(s,t))=\begin{cases} \left(\frac t{1-(1-s)(1-|t|)},1-(1-s)(1-|t|)\right) &\text{if }s\ne0\text{ or }t\ne 0 \\ (0,0) &\text{if }s=t=0 \end{casos}$$ Por el contrario, la composición de $h^{-1}$ con el cociente mapa de $[-1,1]\times I\to C[-1,1]$ factores como $$[-1,1]\times I\xrightarrow g I\times [-1,1]\to SI$$ con la discontinua $g$ siendo definido por $$g(t,s)=(g_s(t,s),g_t(t,s))=\begin{cases} \left(1-\frac{1-s}{1-s|t|},st\right) &\text{if }s\ne 1\text{ or }|t|\ne 1 \\ (1,t) &\text{if }s=1\text{ and }t=\pm 1 \end{casos}$$

Para arbitrario $A$$B$, la suspensión de su combinación es un cociente de $A\times B\times I\times[-1,1]$, y el cociente mapa es el compuesto $$A\times B\times I\times[-1,1]\to (A*B)\times[-1,1]\to S(A*B)$$ El primer mapa es el producto de un cociente mapa y la identidad en el local espacio compacto $[-1,1]$, con lo que de nuevo un cociente mapa. Si enviamos un punto de $(a,b,s,t)$$[a,\,[b,f_t(s,t)],\,f_s(s,t)]\in A*SB$, entonces esto induce a una función de$S(A*B)$$A*SB$, dos puntos tienen la misma imagen siempre que se identificaron en $p$.
El envío de $(a,b,t,s)$ $[[a,b,g_s(s,t)],\,g_t(s,t)]\in S(A*B)$induce una función de $\beta$ en la otra dirección desde dos puntos tienen la misma imagen de siempre que se identifican por el mapa continuo $q$ que es el compuesto $$A\times B\times[-1,1]\times I\to A\times SB\times I\to A*SB$$
Ahora se puede comprobar que estas funciones son inversos el uno al otro. Eso significa que tenemos un bijection $$\alpha:S(A*B)\to A*SB$$

Con el fin de mostrar la continuidad de $\alpha$, es suficiente para mostrar que $\alpha p$ es continua. Así que toma un conjunto abierto $U\subseteq A*SB$. Su preimagen en $q$ es entonces un abrir $q$saturada subconjunto de $A\times B\times[-1,1]\times I$. Tenga en cuenta que$\alpha p= q(\mathbf 1_A\times\mathbf 1_B\times f)$$\beta q= p(\mathbf 1_A\times\mathbf 1_B\times g)$. Desde $q^{-1}(U)$ es abierto, cada punto de $x=(a,b,t,s)$ en este conjunto está cubierto por una caja abierta $\cal W_x=\cal A_x\times B_x\times T_x\times S_x$$q^{-1}(U)$.
Si $s>0$, entonces podemos optar $\cal S_x$ a no contener $0$, y eso significa que $\cal T_x\times\cal S_x$ $d$ saturado donde $d:[-1,1]\times I\to C[-1,1]$ es el cociente mapa de contracción $[-1,1]\times\{0\}$ a un punto. Tenga en cuenta que preimages de $d$saturada de abrir establece en $f$ $c$saturada de bloques abiertos, donde $c:I\times[-1,1]\to SI$ es la suspensión del mapa. Así que en este caso, $(\mathbf 1_A\times\mathbf 1_B\times f)^{-1}(\cal W_x)$ está abierto.
Si $s=0$, $q^{-1}(U)$ contiene $\{a\}\times\{b\}\times[-1,1]\times\{0\}$, que es compacto. Así, podemos optar $\cal T_x$$[-1,1]$. Pero esto hace que $\cal T_x\times S_x$ $d$-saturada, por lo tanto $(\mathbf 1_A\times\mathbf 1_B\times f)^{-1}(\cal W_x)$ está abierto.
Esto demuestra que $(\alpha p)^{-1}(U)$ es un conjunto abierto, por lo $\alpha$ es un continuo bijection.