Sea$f:[0,1]\rightarrow R$ una función continua tal que$\int_{0}^{1}f(x) dx=0$.
Demuestre que existe un$c\in(0,1)$ tal que$\int_{0}^{c}x f(x)dx=0$.
Mi intento:
Se debe utilizar el teorema de Rolle o el LMVT pero no se puede averiguar cómo
Respuestas
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Ali
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1
Las siguientes anotaciones en la respuesta de Jayden:
Podemos argumentar por contradicción. Dejar $g(x)=\int_0^xtf(t)dt$. Supongamos que$g(x)$ no tiene ceros distintos de$0$, digamos$g(x)>0,x\in (0,1]$. Entonces \begin{align*} 0=&\int_0^1f(x)dx \ge \liminf_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^1\frac{1}{x}g'(x)dx\\ =&\liminf_{\epsilon\to 0}\left(\frac{g(x)}{x}|_{\epsilon}^1+\int_{\epsilon}^1\frac{g(x)}{x^2}dx\right)\\ \ge&g(1)+\liminf_{\epsilon\to 0} -\frac{g(\epsilon)}{\epsilon} +\liminf_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^1\frac{g(x)}{x^2}dx\\ &>g(1) + 0 +\liminf_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^1\frac{g(x)}{x^2}dx>g(1)>0, \end {align *} que es imposible.
PS:$\liminf_{\epsilon\to 0} -\frac{g(\epsilon)}{\epsilon}=0$ desde
Tenga en cuenta que$f$ está delimitado en$[0,1]$ así que para algunos$m ,M \in R$ tenemos$m \leq f(t) \leq M$ para todos$t \in [0,1]$ y luego
PS
Jayden
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39
Podemos argumentar por contradicción. Dejar $g(x)=\int_0^xtf(t)dt$. Supongamos que$g(x)$ no tiene ceros distintos de$0$, digamos$g(x)>0,x\in (0,1]$. Entonces \begin{align*} 0=&\int_0^1f(x)dx=\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^1\frac{1}{x}g'(x)dx\\ =&\lim_{\epsilon\to 0}\left(\frac{g(x)}{x}|_{\epsilon}^1+\int_{\epsilon}^1\frac{g(x)}{x^2}dx\right)\\ =&g(1)+\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon}^1\frac{g(x)}{x^2}dx>g(1)>0, \end {align *} que es imposible.
