¿Podemos refinar este asintótico para los polinomios de Laguerre?

Question

Acabo de encontrar una interesante y útil límite para los polinomios de Laguerre:

$$\lim_{n \to \infty} L_n \left( \frac{2r}{n+1/2} \right)=J_0(2 \sqrt{2r})$$

Estoy usando específicamente esta forma del argumento porque es el que estoy trabajando con la aplicación. Por supuesto, podemos establecer cualquier número fijo en lugar de $1/2$ en el denominador.

He encontrado este límite en un papel, el cual hace referencia a G. Szego. Polinomios Ortogonales. Amer. De matemáticas. Soc. Colloq. Publ. 23, Amer. De matemáticas. Soc. La providencia, RI, 1975. Cuarta Edición., , Teorema 8.1.3.

Mientras que el límite es útil para grandes pedidos y más bien pequeño, $r$, realmente me gustaría saber si hay un refinamiento que podría ser aplicado para obtener una expansión asintótica, que dependería de $n$.

He aquí una ilustración que muestra que el límite no es bueno para las grandes $r$ (a pesar de que tiene aproximado de las raíces mejor que la magnitud):

No está seguro de cómo podríamos refinar este asintótica o cómo el límite original se deriva (como no tengo los enlaces de libro).

Una forma es teniendo en cuenta las ecuaciones diferenciales para ambas funciones.

También hay un interesante resultado de Gradshteyn-Ryzhik:

$$L_n(z)= \frac{2}{n!} e^z \int_0^\infty e^{-t^2} t^{2n+1} J_0(2t \sqrt{z}) dt$$

Que puede o no estar relacionada con el límite anterior.

Answer 1

A partir de dicha representación, podemos expresar \begin{equation} L_n(\frac{2r}{n+1/2})= \frac{2}{n!} e^{\frac{2r}{n+1/2}} \int_0^\infty e^{-t^2} t^{2n+1} J_0\left(2t \sqrt{\frac{2r}{n+1/2}}\right) \,dt \end{equation} el cambio de $ t=\sqrt{u\left( n+1/2 \right)}$, \begin{equation} L_n(\frac{2r}{n+1/2})= \frac{(n+1/2)^{n+1}}{n!} e^{\frac{2r}{n+1/2}}\int_0^\infty e^{-u\left( n+1/2 \right)}u^{n+1/2}J_0\left( 2\sqrt{2ru} \right)\frac{du}{\sqrt{u}} \end{equation} o \begin{equation} L_n(\frac{2r}{n+1/2})= \frac{(n+1/2)^{n+1}}{n!} e^{\frac{2r}{n+1/2}}\int_0^\infty e^{-\left( n+1/2 \right)\left( u-\ln u \right)}J_0\left( 2\sqrt{2ru} \right)\frac{du}{\sqrt{u}} \end{equation} El argumento de la exponencial es mínimo en $u=1$. Podemos utilizar el método de Laplace para obtener una aproximación asintótica de la integral. Cerca de $u=1$, $u-\ln(u)\sim 1+(u-1)^2/2$ e $u^{-1/2}J_0\left( 2\sqrt{2ru}\right)\sim J_0\left( 2\sqrt{2r}\right)$, luego \begin{equation} L_n(\frac{2r}{n+1/2})\sim \sqrt{2\pi}\frac{(n+1/2)^{n+1/2}}{n!} e^{\frac{2r}{n+1/2}} e^{-(n+1/2)}J_0\left( 2\sqrt{2r}\right) \end{equation} Ahora, conectar la aproximación de Stirling para $n!$ y una expansión para el término exponencial, obtenemos el resultado esperado $ L_n(\frac{2r}{n+1/2})\sim J_0\left( 2\sqrt{2r}\right)$. Para mejorar la aproximación, la fórmula anterior y/o órdenes superiores en la expansión de Laplace puede ser utilizado.