Es la categoría de finito de conjuntos de pequeño?

Question

En el libro de la Categoría de teoría por Awodey, una categoría puede tener adecuada de las clases de objetos y las flechas. Entonces ha

Definición 1.11. Una categoría es pequeña si la recolección de objetos y la colección de flechas que son conjuntos.

A la derecha debajo de la definición afirma

Por ejemplo, todos finito de categorías están claramente pequeña, como es la categoría de $\text{Sets}_{\text{fin}}$ finito de conjuntos y funciones. (En realidad, uno debe estipular que los conjuntos tengan sólo se construye a partir de otros conjuntos finitos, todo el camino hacia abajo, es decir, que son "hereditariamente finitos".)

No hay ningún conjunto finito de conjuntos, ya que no son conjuntos finitos $\{M\}$ para cualquier conjunto $M$. Así que la segunda parte de la primera frase no es cierto, ¿verdad? Es que lo que él entiende por el comentario entre paréntesis?

Answer 1

La categoría de conjuntos finitos no es pequeño. Sin embargo, la categoría de conjuntos finitos es esencialmente pequeños, es decir, el equivalente a una pequeña categoría. Esto es suficiente, para la mayoría de propósitos, para aplicar los resultados acerca de las categorías pequeñas. Generalmente, la categoría de teoría de la materia que está (o debería!) ser invariantes bajo equivalencias de categorías.

La categoría de hereditariamente finitos conjuntos es pequeño; Asaf ha mencionado ya que todos ellos pertenecen al conjunto $V_{\omega}$ en la jerarquía de Von Neumann.