Pasando de la forma cerrada para la recurrencia de la relación

Question

Si yo tuviera una forma cerrada para una secuencia que sospecho que representa una relación de recurrencia ¿cómo puedo determinar la recurrencia de la relación?

En particular, tengo la secuencia

$$a_n = \frac{1}{4}\bigg(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\bigg)^n + \frac{1}{4}\bigg(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\bigg)^n$$

Esto me recuerda a la forma cerrada de la secuencia de Fibonacci, por lo que supongo que la secuencia de satisfacer a una relación de recurrencia de la forma $a_n = ba_{n-1}+ca_{n-2}$ para algunos enteros (o al menos racionales) $b,c$. ¿Qué es un método que puede utilizar para determinar la relación de recurrencia o determinar que no hubo recurrencia relación existe?

Answer 1

Supongamos que queremos encontrar una relación de recurrencia tal que $a_n = \left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)^n$ y $a_n = \left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)^n$ son ambas soluciones, que tiene la forma $$ a_n -b a_{n-1} -c a_{n-2} = 0 $$ Si asumimos que el $a_n = r^n$ algunos $r$ es una solución, tendríamos $$ r^2(a_{n-2}) - br(a_{n-2}) + ca_{n-2} = 0 \implica\\ r^2 - br - c = 0 $$ Así, es suficiente para encontrar $b,c$ tal que $r = \frac{3}{2} \pm \sqrt{2}$ son las raíces de la ecuación de $r^2 - br - c = 0$. La única opción que funciona es $$ b = 3\\ c = -1/4 $$ Así, la secuencia será la única solución para la recurrencia del problema $$ a_n = 3a_{n-1} - \frac 14 a_{n-2}\\ a_0 = \frac 12, \quad a_1 = \frac 34 $$