Si $x_n\to0$ y $(x_{n+1}-x_n)/x_n^p$ converge entonces $\sum x_n$ ¿converge o diverge?

Question

Dejemos que $p>1$ sea un número real y $\{x_n\}$ sea una secuencia de números reales positivos tal que $$\lim_{n \to \infty} x_n=0$$ y tal que $\Big\{\frac{x_{n+1}-x_n}{x_n^p}\Big\}$ es convergente con un límite no nulo. ¿Es cierto que $\sum x_n$ converge si y sólo si $p<2$ ?

De la condición dada es inmediato que $\sum x_n^p$ es convergente, pero no puedo seguir adelante.

Answer 1

Dejemos que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_n^p}=\alpha>1$ y $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0$ entonces $$\forall\delta>0\,,\exists N\in{\mathbb N}\,,s.t.\,|x_{n+1}-x_{n}|<\delta$$ $$\forall\varepsilon>0\,,\exists M\in{\mathbb N}\,,s.t.\,|\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_n^p}-\alpha|<\varepsilon$$ con algunos cálculos tenemos $$(\alpha-\varepsilon)|x_n|^p<|x_{n+1}|+|x_{n}|<|x_n|(1+\delta)$$ Por escrito de Cauch-Criterio $$\sqrt[n]{|x_n|^{p-1}}<\sqrt[n]{\frac{1+\delta}{\alpha-\varepsilon}}$$ Pero con $p>1$ esto demuestra que la convergencia $\sum x_n^p$ no dependía de $p$ y es convergente para $\alpha>1$ .