Cómo evaluar esta Integral $\int { {\sqrt{5^2+K^2}}dK \over {\sqrt{10^2+K^2}K}} $

Question

Mientras trabajaba en una Exacta la Ecuación Diferencial, me encuentro con la siguiente Integral.

$$\int { {\sqrt{5^2+K^2}} \over {K\sqrt{10^2+K^2}}} dK$$

He tratado de sustitución y de todos los otros métodos de primaria, pero la Integral simplemente se niega a ceder el paso a todos mis intentos. Creo que esto requiere de algún concepto que tengo todavía no se ha estudiado. Tal vez las Integrales elípticas? Pero eso es sólo especulación. Ayuda Por Favor....

Gracias.

Answer 1

Esto no es trivial $$I=\int\frac{\sqrt{x^2+25}}{x \sqrt{x^2+100}}\,dx$$ Let us try using $$\frac{\sqrt{x^2+25}}{ \sqrt{x^2+100}}=u^2 \implies x=\frac{5 \sqrt{1-4 u^4}}{\sqrt{u^4-1}}\implies dx= \frac{30 u^3}{\sqrt{1-4 u^4} \left(u^4-1\right)^{3/2}}du$$ So, $$I=-\int\frac{6 u^5}{4 u^8-5 u^4+1}\,du$$ Now, since the denominator shows pretty nice roots (it is a quadratic in $u^4$), partial fraction decomposition leads to $$\frac{-6 u^5}{4 u^8-5 u^4+1}=\frac{u}{u^2+1}+\frac{u}{2 u^2-1}-\frac{u}{2 u^2+1}-\frac{1}{2 (u-1)}-\frac{1}{2 (u+1)}$$ hace que el problema sea mucho más placentera.

El resultado de la integración es sólo una suma de logaritmos $$I=\frac{1}{4} \log \left(1-2 u^2\right)-\frac{1}{2} \log \left(1-u^2\right)+\frac{1}{2} \log \left(1+u^2\right)-\frac{1}{4} \log \left(1+2 u^2\right)$$ Recombining all of that simplifies again and $$I=\tanh ^{-1}\left(u^2\right)-\frac{1}{2} \tanh ^{-1}\left(2 u^2\right)$$

Editar

Aplicando el mismo método para $$I=\int\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x \sqrt{x^2+b^2}}\,dx$$ would lead to $$I=\tanh ^{-1}\left(u^2\right)-\frac{a }{b}\tanh ^{-1}\left(\frac{b }{a}u^2\right)$$