$$\sum^{\infty}_{n=0} (-1)^n\frac{n+1}{n!}$$
Llevo un día entero trabajando en ello y todavía no tengo ni idea. Creo que es hora de buscar ayuda....>< ¿Alguna pista para calcular esta serie?
¡Gracias!
Respuestas
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Una pista: Tenemos $$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^5}{5!}+\cdots.$$
Multiplica ambos lados por $x$ y diferenciar término por término.
De otra manera: Express $\dfrac{n+1}{n!}$ como $\dfrac{1}{(n-1)!}+\dfrac{1}{n!}$ y utilice sus conocimientos sobre la serie para $e^{-x}$ .
Scott McClung
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De la manera más limpia: $$ (-1)^n \frac{n+1}{n!} = (-1)^n\left(\frac1{n!}+\frac1{(n-1)!}\right) $$ Así, reordenando la suma (e incluyendo explícitamente el $n=0$ caso, donde sólo es $1$ ), tiene $$ 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} = 1 - \frac{(-1)^0}{0!} = 0 $$
