Cómo evaluar el límite de $\lim_{m\to\infty}m\left({(\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n^2})}^{\pi^2/6}-{(\pi^2/6)}^{\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n^2}}\right)$

Question

Cómo evaluar el siguiente límite? $$ \lim_{m\to\infty}m\left[ \left(\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n^2}\right)^{\pi^2/6}-{(\pi^2/6)}^{\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n^2}} \right] $$

Este límite es de la forma $\infty \cdot 0$. Yo generalmente resolver tal problema tomando el término que equivale a $0$ para el denominador y, a continuación, utilizando la regla de l'Hôpital. Sin embargo, eso no va a funcionar aquí.

Answer 1

Escribir $c = \frac{\pi^2}{6} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ e $\epsilon_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$. Entonces

• $ c^{c - \epsilon_n} = c^c \left[ 1 - \epsilon_n \log c + \mathcal{O}(\epsilon_n) \right] $,

• $ (c - \epsilon_n)^c = c^c \left( 1 - \frac{\epsilon_n}{c} \right)^c = c^c \left[ 1 - \epsilon_n + \mathcal{O}(\epsilon_n^2) \right] $,

• $\epsilon_n = \int_{n}^{\infty} \frac{dx}{x^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) $.

La combinación en conjunto,

$$ n \left( c^{c-\epsilon_n} - (c-\epsilon_n)^c \right) = c^c (1 - \log c) + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right), $$

que converge a $c^c (1 - \log c) = \zeta(2)^{\zeta(2)} \left( 1 - \log \zeta(2) \right)$ como $n\to\infty$.

Answer 2

El factor de $m$ se pueden mover en el denominador como $1/m$ y luego podemos aplicar Cesaro-Stolz. El numerador de la expresión después de la aplicación de Cesaro-Stolz es $$(a+h) ^k-a^k-k^{a+h} +k^a$$ where $$k=\frac{\pi^2}{6},a=\sum_{i=1}^{m}i^{-2}\to k,h=(m+1)^{-2}\to 0$$ Thus $k$ is constant and $a,%h $ are functions of $m$. The denominator of the expression after applying Cesaro-Stolz is $-1/m(m+1)$ and this can be replaced by $-h$. Thus we need to find the limit $$\lim_{h\to 0}\frac{a^k-(a+h)^k+k^{a+h}-k^a}{h}$$ and this is easily evaluated as $k^k\log k-k^k$ where $k=\pi^2/6$.