Límite de una disminución de la secuencia de conjuntos medibles.

Question

Deje $(X,\mathcal{A})$ ser medibles con un espacio de medida $\mu$. Deje $\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{A}$ ser una secuencia de conjuntos medibles, con $E_{n+1} \subseteq E_n, \ \forall n \in \mathbb{N}$, lo que supone una disminución de la secuencia, y $\mu(E_n)=+ \infty, \ \forall n \in \mathbb{N}$. Deje $E=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} E_n$ el límite conjunto de la secuencia, $E$ es medible por definición. Es cierto que $\mu(E)=+\infty$? Si no en todos los casos, es cierto con $X=\mathbb{R}^{N}$, $\mathcal{A}$ la colección de Lebesgue-medible conjuntos, y $\mu$ la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^N$?

Answer 1

Considere la posibilidad de $E_n=(n,\infty)$ como subconjuntos de a $\Bbb R$. Ejemplos similares se pueden encontrar para general $\Bbb R^N$, en particular el conjunto de todos los $\vec{x}$ tal que $\lVert\vec{x}\rVert>n$.