Tarea:
En el set $C^2[a, b] := \lbrace f: [a, b]\to R \text{ are twice continuous differentiable function} \rbrace$
son funciones definidas $F_i :C^2[a, b]\to R, i \in\{ 1, 2, 3\}$. Tenemos 3 funciones específicas:
$$F_1(f)=\max_{a\le t\le b} |f(t)|$$ $$F_2(f)=\max_{a\le t\le b} |f'(t)|$$ $$F_3(f)=\max_{a\le t\le b} |f''(t)|$$
Es una norma de $C^2[a, b]$:
(a) $\Vert f\Vert =\vert f(b)-f(a)\vert + F_2(f) + F_3(f)$
(b) $\Vert f\Vert =\vert f(b)\vert+\vert f(a)\vert + F_3(f)$
(c) $\Vert f\Vert = \int_{a}^ b \vert f(t)\vert dt + F_3(f)$
Mi solución (a) es:
Necesito comprobar 3 axiomas:
1) $\Vert f\Vert \ge 0$. (esto es cierto porque los de valores absolutos) y
$\Vert f\Vert = 0 \iff f=0$ (aquí tengo algunos problemas para demostrar que es verdadera).
2) $\Vert \mathcal L f\Vert = \vert\mathcal L \vert \Vert f \Vert$
Prueba:
\begin{align*} \Vert \mathcal L f\Vert & = \vert\mathcal L f(b) - \mathcal L f(a) \vert + F_2(\mathcal L f) + F_3(\mathcal L f)\\ & = \vert\mathcal L (f(b) - f(a)) \vert + \mathcal L F_2(f) + \mathcal L F_3(f) \\ &= \vert \mathcal L \vert ( \vert (f(b) - f(a)) \vert + F_2(f) + F_3(f)) \\ &= \vert\mathcal L \vert \Vert f \Vert \end{align*}
Así que es cierto.
3) $\Vert f+ g \Vert \le \vert f \vert + \vert g \vert$.
Cierto, porque de $ F_2(f+g) \le F_2(f) + F_2(g)$.
Pregunta: Lo mismo hice con (b) y (c) y mi resultado es que todos ellos son normas. Es mi prueba correcta? Lo que sobre (b) y (c)? Tal vez yo no notan algo y hacer error? Parece que para mi extraño es que yo tengo 3 de las normas aquí.
