Número entero de soluciones a $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ donde cada una de las $x_i \geq- 5$?

Question

Necesito saber cómo encontrar el número de posibles entero de soluciones para el problema siguiente.

$$x_1 + x_2 + x_3 = 0 \text{ where }x_i \ge -5$$

Normalmente, me gustaría hacer este problema por lo que es una distribución de objetos idénticos problema encontrando la cantidad de maneras de llenar cada "cuadro" con n objetos diferentes. Sin embargo, yo no puedo hacer eso aquí (o al menos yo no puedo averiguar cómo hacerlo aquí). Sé que la respuesta es

$$15+3-1\choose 15$$

Entiendo que en la 3 y 1 vienen, sin embargo, no entiendo donde el 15 viene (mi única conjetura sería $5\cdot 3$, pero no estoy seguro). Gracias!

Answer 1

Deje $y_i=x_i+5$. Nuestro problema es equivalente a encontrar el número de no-negativo soluciones de $y_1+y_2+y_3=15$.

O de lo contrario vamos a $z_i=x_i+6$. Queremos que el número de soluciones positivas de $z_1+z_2+z_3=18$.

Estos dos problemas son familiares para usted.

Yo prefiero la segunda. Se trata de una norma "Estrellas y Barras" problema (ver el artículo de la Wikipedia).

Tenemos $18$ caramelos en una fila. Hay $17$ "brechas" entre ellos. Queremos elegir a $2$ de estos huecos para colocar un separador. A continuación, $z_1$ es el número de caramelos que para el primer separador, $z_2$ el número entre los separadores, y $z_3$ el resto.

Hay $\dbinom{17}{2}$ maneras de escoger el $2$ deficiencias de la $17$ disponible. Alternativamente, usted puede escribir esto como $\dbinom{17}{15}$, ya que en general $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}$. O bien usted puede pensar en la separación, proceso de elección como de decidir sobre la $15$ lugares donde los separadores de no ir.

El más común sería decir que la respuesta es $\dbinom{17}{2}$. Pero decir $\dbinom{17}{15}$ es totalmente equivalente.

Answer 2

Esto no es realmente una solución diferente a la de André Nicolas, pero sólo un comentario para decir que no necesita a preferir su segunda forma de la ecuación. Así que, según explicó, agregando $5$ a cada uno de $x_1,x_2,x_3$ traducir el problema en contar las soluciones de $y_1+y_2+y_3=15$ con enteros $y_1,y_2,y_3\geq0$. Los problemas en este formulario son más comunes que aquellas con las condiciones de ser estrictamente positivo; por ejemplo, esta es la forma en que uno cuenta el número de monomials en las variables de $a,b,c$ que tienen total grado $15$. Así que no hay interés en ser capaz de manejarlo (mentalmente) sin transformar en un problema estrictamente positivo incógnitas.

Así que en lugar de hacer "estrellas y barras", "piensan" los bares y positivos". Imaginar una solución de $y_1+y_2+y_3=15$ con los números de $y_1,y_2,y_3\geq0$ escrito en unario la notación (repetición de barras verticales); cualquier número posible $0$ tendrá un vacío de representación. Que le da (a la izquierda del signo"=") de un total de $15+2=17$ movimientos verticales para los bares y los signos más. Así que uno puede formar cualquier solución mediante la toma de $17$ trazos "|" y cruzar cualquier $2$ de ellos para formar un "+"; esto se puede hacer en $\binom{17}2$ diferentes maneras, todos dando soluciones válidas.