Líneas tangentes a un círculo unitario en un plano complejo

Question

Dejemos que $a$ y $b$ sean dos números complejos en el círculo unitario, es decir $|a| = |b| = 1$ .

(a) Demuestre que la ecuación de la tangente al círculo unitario en $a$ viene dada por $$z + a^2 \overline{z} = 2a$$

(b) Utilice el resultado de la parte (a) para demostrar que la intersección de las tangentes al círculo unitario en $a$ y $b$ es $$\frac{2ab}{a + b}$$

Tengo parte $a$ así:

(a) Como conocemos la recta tangente y el radio desde el origen hasta $a$ son perpendiculares, podemos decir $$z-a = a(e^{\pi i/2}k) = aki$$ donde $k$ es un número entero. Manipulando la ecuación obtenemos: \begin {align*} z-a &= aki \\ z &= a(1+ki) \\ \overline {z} &= \overline {a}(1-ki) \\ a^2 \overline {z} &= a^2 \overline {a}(1-ki) \end {align*} Simplifiquemos el lado derecho: $$a^2\overline{a}(1-ki) = a\cdot a\overline{a}(1-ki) = a\cdot |a|^2(1-ki) = a(1-ki)$$ Ahora podemos continuar: \begin {align*} a^2 \overline {z} &= a^2 \overline {a}(1-ki) \\ a^2 \overline {z} &= a(1-ki) \\ a^2 \overline {z} &= a-aki \\ a^2 \overline {z} &= 2a - a - aki \\ a^2 \overline {z} &= 2a - z \\ z+a^2 \overline {z} &= 2a \end {align*}

Sin embargo, necesito ayuda en la parte $b$ . Supongo que tendríamos que utilizar la respuesta de la parte $a$ para 2 líneas y ponerlas iguales, pero no estoy seguro. ¿Podría alguien ayudar?

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $z_0$ es la intersección. Entonces satisface ambas ecuaciones y así $$ z_0 +a^2 \overline{z}_0 -2a = z_0 +b^2 \overline{z}_0 -2b $$ lo que lleva a $(a^2-b^2)\overline{z}_0 = 2(a-b)$ . Ahora bien, porque obviamente $a \neq b$ (para que el problema sea consistente) podemos cancelar $a-b$ y obtener $$ \overline{z_0} = \dfrac{2}{a+b} \Rightarrow z_0 = \dfrac{2}{\overline{a}+\overline{b}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} = \dfrac{2ab}{a+b}\cdot $$ Nota: desde $|a|=|b| = 1$ tenemos $a\overline{a} = b\overline{b} = 1$ .

Answer 2

Vamos a establecer $w$ como punto de intersección. Usando nuestra solución de la parte a, podemos decir: $$w+a^2\overline{w}-2a=0=w+b^2\overline{w}-2b$$ Manipulemos esta ecuación: \begin {align*} w+a^2 \overline {w}-2a &= w+b^2 \overline {w}-2b \\ a^2 \overline {w}-b^2 \overline {w} &= 2a-2b \\ \overline {w}(a^2-b^2) & = 2(a-b) \\ \overline {w}(a+b) &= 2 \\ \overline {w} &= \frac {2}{a+b} \\ w &= \frac {2}{ \overline {a}+ \overline {b}} \end {align*} Demos un paso atrás y pensemos $\overline{a}$ y $\overline{b}$ \begin {align*} a \overline {a} = |a|^2 \\ a \overline {a} = 1 \\ \overline {a} = \frac {1}{a} \end {align*} Usando la misma lógica, también podemos derivar $\overline{b} = \frac{1}{b}$ Ahora vamos a sustituir estos valores: \begin {align*} w &= \frac {2}{ \overline {a}+ \overline {b}} \\ &= \frac {2}{ \frac {1}{a}+ \frac {1}{b}} \\ &= \frac {2}{ \frac {a+b}{ab}} \\ &= \frac {2ab}{a+b} \end {align*}

P.D. Es la primera vez que respondo a mi propia pregunta.

P.P.S. Todos los créditos van a @Veliko, que básicamente me enseñó cómo hacerlo (la respuesta de @Veliko es la comprobada)