Conjunto de intervalos cerrados $[x, y] \subset [0, 1]$ $\pi$-sistema que genera Borel $\sigma$-álgebra en $[0, 1]$?

Question

¿Cómo puedo ver que el conjunto de intervalos cerrados $[x, y] \subset [0, 1]$ $\pi$- sistema que genera la Borel $\sigma$-álgebra en $[0, 1]$?

Answer 1

Para ver esto, en primer lugar, compruebe que el conjunto de intervalos cerrados es un $\pi-$sistema que es el resultado de tener finito intersección de conjunto cerrado cerrado.

A ver que se genera Borel $\sigma-$álgebra, es suficiente para demostrar que todo conjunto abierto $(x,y)$ (e $(x,1]$ $[0,x)$ pertenece a $\sigma-$álgebra de conjunto cerrado. $(x,1]$ $[0,x)$ trivialmente pertenecen a $\sigma-$álgebra, ya que son complementos de conjuntos cerrados. Por otro lado, contables unión de $[x-\frac 1n,y-\frac 1n]$ $n\in\mathbb N$ se obtiene el conjunto abierto $(x,y)$. Para abrir todos los conjuntos están en $\sigma-$álgebra de conjuntos cerrados y por lo tanto incluye Borel $\sigma-$álgebra. La dirección inversa puede ser demostrado por ver que cada conjunto cerrado ya está en Borel $\sigma-$álgebra.