En David M. Burton, el libro de Primaria de la Teoría de números que he encontrado las siguientes palabras,
... La primera demostrable progreso hacia la comparación de $\pi(x)$ $\dfrac {x}{\ln x}$ fue realizado por ... P. L. Tchebycheff..., él demostró que existen constantes positivas $a$ $b$ con $a$ $<$ $1$ $<$ $b$ de tal manera que- $$\dfrac{ax}{\ln x} < \pi(x) < \dfrac{bx}{\ln x}$$
Para todos lo suficientemente grande $x$
Tchebycheff también demostró que, si existe un límite de $\displaystyle\dfrac{\pi(x)}{\dfrac {x}{\ln x}}$ debe ser $1$.
Supongamos ahora me han demostrado que la secuencia $u_n$ $=$ $\displaystyle\dfrac{\pi(n)}{\dfrac {n}{\ln n}}$ es estrictamente decreciente para todos lo suficientemente grande $n$ y por lo tanto tiene un límite (ya que estrictamente una disminución de la secuencia de números positivos que está delimitada por debajo tiene un límite, más precisamente su infimum). Si ahora te intento a la conclusión de que, dado que por Tchebycheff del resultado si existe un límite de $\displaystyle\dfrac{\pi(x)}{\dfrac {x}{\ln x}}$ debe ser $1$, debemos tener, $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{\pi(n)}{\dfrac {n}{\ln n}} = 1$$
Donde iba a estar mal?
Tomando nota de que la función de $f(x)= \dfrac {x}{\ln x}$ es estrictamente creciente, ahora pretendo dar una prueba de la consecuencia de que la secuencia de $u_n$ $=$ $\displaystyle\dfrac{\pi(n)}{\dfrac {n}{\ln n}}$ es estrictamente decreciente para todos lo suficientemente grande $n$.
Procedemos considerando los siguientes casos,
Caso 1
En este caso, nuestra suposición se $\pi(n+1)=\pi(n)$.
Sigue inmediatamente que $u_n$ $>$ $u_{n+1}$.
Caso 2
Supongamos ahora que $\pi(n+1)=\pi(n)+1$.
Observe que,
$$\dfrac{\pi(n)}{\dfrac{n}{\ln n}} > \dfrac{\pi(n)+1}{\dfrac{n+1}{\ln (n+1)}} \implies \dfrac{\pi(n)(n+1)}{\ln (n+1)} > \dfrac{n(\pi(n)+1)}{\ln n}$$ Which in turn implies that, $$n^{\displaystyle(1+\dfrac{1}{n})(1-\dfrac{1}{\pi(n)+1})}>(n+1)$$ lo que es evidente para todos lo suficientemente grande $n$.
