Si $f = a_0 + a_1t + \cdots\in\mathbb{Z}_p[[t]]$ tiene $p\mid a_0$ pero $p\nmid f$ , podría $1/f$ tienen denominadores acotados en $\mathbb{Q}_p[[t]]$ ?

Question

Dejemos que $f\in\mathbb{Z}_p[[t]]$ sea una serie de potencias, digamos $$f = a_0 + a_1t + a_2t^2 + \cdots$$ Supongamos que $p\nmid f$ (es decir, existe algún $a_i$ que es una unidad en $\mathbb{Z}_p$ ), pero supongamos $p\mid a_0$ .

¿Es posible que los coeficientes de $\frac{1}{f}$ como elemento de $\mathbb{Q}_p[[t]]$ tener $p$ -¿valorización de la adicción acotada por abajo? (por ejemplo, existe un $b\in\mathbb{Z}$ tal que todos los coeficientes de $1/f$ tienen valoración $\ge b$ )

Aquí el $p$ -Valoración de la $p^n$ es $n$ .

EDIT: El ejemplo más básico: $f = p - t$ tiene inversa $\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2}t + \cdots$ . Jugando con wolframalpha parece sugerir que en general los inversos de tales $f$ tienen denominadores no limitados, aunque no tengo una prueba.

Answer 1

Tenga en cuenta que necesitamos $a_0 \neq 0$ para $1/f$ para estar en $\mathbb{Q}_p[[t]]$ y no sólo $\mathbb{Q}_p((t))$ .

Apelemos, quizá innecesariamente, a la $p$ -teorema de la preparación de Weierstrass, que da $$f(t) = u(t) \cdot g(t),$$ donde $u(t)$ es una unidad y $g(t)$ es un grado $n$ polinomio que equivale a $t^n$ mod $p$ (es decir, todos los términos no principales son divisibles por $p$ ). Es evidente que $n$ es el menor número entero tal que el $n$ El coeficiente de $f$ es una unidad, por lo que la hipótesis del problema es que $n > 0$ .

Ahora como $u$ es una unidad, su coeficiente principal es una unidad, y también lo es el coeficiente principal de $\frac{1}{u} \in \mathbb{Z}_p[[t]]$ . De ello se desprende que $\frac{1}{f}$ tiene coeficientes acotados por debajo si y sólo si $\frac{1}{g}$ hace. Esto nos reduce al caso de los polinomios distinguidos.

Dejemos que $g(t) = t^n + pg_0(t)$ es un polinomio distinguido y supongamos $h(t) \in p^{-m}\mathbb{Z}_p[[t]] \setminus p^{-m+1}\mathbb{Z}_p[[t]]$ satisface $g(t)h(t) = 1$ . (Suponemos que $m$ existe en aras de la contradicción y bien podemos elegir el más pequeño de tales $m$ .)

Entonces tenemos la ecuación $p^mg(t)h(t) = p^m$ en $\mathbb{Z}_p[[t]]$ . Esto da $$p^mt^nh(t) + p^{m+1}g_0(t)h(t) = p^m.$$ Mod $p$ tenemos $t^nh(t)p^m = 0$ contradiciendo la suposición de $h(t)$ . No debe haber tal $m$ .