¿Por qué la matriz de 2x2 con traza igual a 1 no contiene ningún vector nulo?

Question

La traza de una matriz cuadrada n×n A=(aij) es la suma a11+a22++ann de las entradas de su diagonal principal.

Sea V el espacio vectorial de todas las matrices de 2×2 con entradas reales. Sea H el conjunto de todas las matrices de 2×2 con entradas reales que tienen traza 1. ¿Es H un subespacio del espacio vectorial V?

¿Contiene H el vector cero de V?

H no contiene el vector cero de V

Hola, estaba revisando los problemas de los deberes y no consigo entender la lógica de estas respuestas correctas.

La matriz <[1, 0], [0, 0]> tiene una traza de 1, es de 2x2, y utiliza entradas reales mientras que tiene un vector cero. ¿Por qué la respuesta es "no contiene un vector cero"?

¿El vector cero significa cero en toda la matriz?

Tenía la impresión de que una matriz se puede dividir en n vectores, por lo que [1,0] es un vector y [0,0] es otro vector, lo que significa que hay un vector cero.

Answer 1

El vector cero de su espacio vectorial es el $2$ por $2$ matriz cuyas entradas son todas ceros. La traza de dicha matriz es cero y no uno.

Así, $H$ no es un subespacio.

Tenga en cuenta que $H$ no es cerrado bajo la adición o la multiplicación escalar porque la traza no se preserva bajo estas operaciones.

Answer 2

Observe la diferencia entre el

" geométrico noción" de vector, que es una tupla con números, por ejemplo $(2,3) $ y el

" álgebra noción" de vector, que es cualquier elemento $v $ en un espacio vectorial $V $ .

En este caso, tu espacio vectorial está lleno de matrices, por lo que son tus vectores. Por supuesto, se puede pensar que una matriz está compuesta por vectores, en la "noción geométrica".

En el lado del álgebra de las cosas, el "vector cero" es el elemento que no hace nada cuando se añade a otros elementos, que es por supuesto la matriz que sólo tiene 0s.