Sé que la tangente paquete de $G_n(\mathbb{R}^{n+k})$ es isomorfo a $\text{Hom}(\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k}), \gamma^\perp)$ donde $\gamma^\perp$ denota el complemento ortogonal de $\gamma^n(\mathbb{R}^{n+k})$$\epsilon^{n+k}$. Ahora, considere la posibilidad de un suave colector $M \subset \mathbb{R}^{n+k}$. Si $\overline{g}: M \to G_n(\mathbb{R}^{n+k})$ denota la generalización de Gauss mapa, ¿cómo puedo ver que $$D\overline{g}: DM \to DG_n(\mathbb{R}^{n+k})$$gives rise to a cross-section of the bundle$$\text{Hom}(\tau_M, \text{Hom}(\tau_M, \nu)) \cong \text{Hom}(\tau_M \otimes \tau_m, \nu)?$$
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Harry Reed
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¿Qué es $\nu$? ¿Qué es $\gamma^n(\mathbb R^{n+k})$?
La derivada de un mapa de $f:X\to Y$ es una sección del paquete de $\mathrm{Hom}(TX,f^*TY)$ $X$ donde $f^*TY$ es el retroceso del vector paquete de $TY$ $X$través $f$.
Vamos a resolver esto por el ejemplo que has dado. El caso general es exactamente el mismo. Fijar un punto de $p$$M$. A continuación, $D\bar g_p$ es lineal en el mapa de $T_pM\to T_{\bar g(p)}G_n(\mathbb R^{n+k})$, es decir, un elemento de $\mathrm{Hom}(T_pM,T_{\bar g(p)}G_n(\mathbb R^{n+k}))=\mathrm{Hom}(T_pM, (\bar g^*TG_n(\mathbb R^{n+k}))_p)$. Por lo tanto, $D\bar g$ es una sección del paquete de $\mathrm{Hom}(TM,\bar g^*TG_n(\mathbb R^{n+k}))$$M$.
Ahora, es sólo una cuestión de computación de lo $\bar g^*TG_n(\mathbb R^{n+k})$ es. Este es el espacio de todos los pares $(p,v)\in M\times TG_n(\mathbb R^{n+k})$ tal que $v$ se encuentra en el espacio de la tangente de $\bar g(p)$.
Voy a tratar de continuar una vez que averiguar lo $\nu$ es.
Ted Shifrin
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La última igualdad es básicos de álgebra lineal, por supuesto. Como lo que yo puedo decir, todo lo que está faltando es la tautológica hechos que $\bar g^*\gamma^n = \tau_M$$\bar g^*\gamma^\perp = \nu$. Estos siguen inmediatamente a partir de las definiciones de $\bar g$, $\gamma$, $\gamma^{\perp}$, $\tau_M$, y $\nu$.
