Medición de la integral

Question

Considere una función de $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ que es continua en el primer argumento, medibles en el segundo.

Deje $m: \mathcal{B}(\mathbb{R}^m) \rightarrow [0,1]$ ser una medida finita.

Me pregunto si la función de $F: \mathbb{R}^n \rightarrow [0,1]$ se define como $$ F(x) := m\left( \{ y \in \mathbb{R}^m \mid f(x,y) \leq 0 \} \right) $$ es medible.

Lo que traté de hacer es la afirmación de que se $F$ es semicontinua superior. Esto debería implicar la mensurabilidad.

Answer 1

La función de $f$ es un Caratheodory función y debe ser, por tanto, conjuntamente medibles, por lo $A=f^{-1}\big((-\infty,0]\big)$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m$. Deje $\nu$ ser algunos finito medida en $\mathbb{R}^n$. El Borel-$\sigma$-álgebras tienen la propiedad de que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m)=\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$. Deje $1_A$ ser la función de indicador de $A$. Por el teorema de Fubini, $$\nu\otimes m(A)=\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^m} 1_A(x,y)~dm(y)~d\nu(x) $$ and the function $x\mapsto\int_{\mathbb{R}^m} 1_A(x,y)~dm(y)$ is measurable. But $\int_{\mathbb{R}^m} 1_A(x,y)~dm(y)=F(x)$.

Por supuesto, de una manera más directa argumento podría ser el uso de las partes esenciales de la prueba del teorema de Fubini.