Definición alternativa para Exponenciales y Logarítmicas para demostrar identidades (y, por extensión, el pecado y la cos relacionados con identidades)

Question

Edit : Esta pregunta es acerca de que no se trata de probar las identidades, representaciones que son más fáciles de trabajar con series de Taylor o integral de la definición de las funciones exp o ln funciones. Por favor, no intente demostrar identidades, sólo quiero alternativa inicial de las representaciones. Por ejemplo, el infinito de ceros del pecado no son evidentes con la serie de Taylor de definiciones, donde como Producto de Euler fórmula $\sin(x) = x\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$ hace trivial para ver sen,cos tienen una cantidad infinita de ceros en la recta real.

Hay una mejor alternativa para las definiciones de $\exp(x) = {\large\sum\limits_{k=0}^\infty} \dfrac{x^k}{k!} , \ln(x) = {\large\int_1^x} \dfrac1t\ dt$. que pueden ser utilizados para la obtención de sus identidades, por ejemplo,$\exp (x+y)=\exp(x)\exp(y)$, $\ln (xy) =\ln (x)\ln(y)$ (y, por extensión, el pecado y la cos relacionados) identidades?

¿Hay algún otro punto de partida distinta de $\exp(x) = {\large\sum\limits_{k=0}^\infty} \dfrac{x^k}{k!}$ , donde esta la definición de la función exponencial se obtiene como una de las posibles representaciones de la función exponencial? Si sí, ¿en qué cuerpo de teoría se ocupa de este tipo de preguntas (si las hubiere).

Answer 1

Pues bien, una manera de ver la exponencial es darse cuenta de los siguientes:

Hay dos canónica de las estructuras de grupo en $\mathbb{R}$: $(\mathbb{R},+)$ y $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$. La exponencial es, junto con el mapa de identidad, los dos únicos "interesante" funciones*: la intersección de álgebra y análisis - El mapa de identidad es el único continua isomorfismo de la estructura aditiva que sí, que hace de $f(1)=1$ y el mapa exponencial es la única que continua isomorfismo de la estructura aditiva a la estructura multiplicativa que hace que $f(1)=e$ ($e$ aquí sólo entra como un adecuado punto diferenciador). Esta es una buena manera de pensar acerca de las cosas, pero como he dicho en los comentarios, no es tan viable como la definición de la serie. Y creo que no hay otra definición será. El poder de la serie son simples, bien entendido, muy computacional, etc. (Ver más abajo también para el "diferencial de la ecuación de definición")

*-De hecho, todas las demás funciones elementales pueden ser obtenidos por ellos: polinomios, $\sin$, $\cos$, $\log$ etc.

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Esta pregunta admite un montón de respuestas diferentes. Me acercará a uno de los problemas que usted ha mencionado: prueba de $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$. Se puede llegar en esto de los Cauchy fórmula del producto, sino también desde el simple hecho de que $\exp'(x)=\exp(x)$ $\exp(0)=1$ (que es algo que se deduce fácilmente a partir de la energía de la serie de la representación, y también puede ser tomado como la definición de la exponencial, es decir, la función que resuelve la ecuación diferencial $y'=y$ con condición inicial $y(0)=1$).

Por eso, definir, para fijo $y \in \mathbb{R}$, $$f(x)=\frac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}.$$

Entonces tenemos $$f'(x)=\frac{\exp(x)\exp(y) \exp(x+y)-\exp(x+y)\exp(x)\exp(y)}{\exp(x)^2\exp(y)^2}=0,$$ por el cociente de la regla. Por lo tanto, $f(x)$ es constante. Pues es claro que $f(0)=1$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ todos los $x$. Pero $y$ es también arbitraria, por lo tanto, tenemos la igualdad para todas las $x,y \in \mathbb{R}$.

Answer 2

Yo soy bastante parcial para el uso de las Funciones Hiperbólicas, así que aquí está uno ligeramente obtuso manera de manipular alternativa defintions de la función exponencial.

Desde $\sinh(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$ $\cosh(x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$ (que, sin duda, es un poco circular por tu pregunta bien...pero lo que sea), es fácil mostrar que $e^{\pm x} = \cosh(x) \pm \sinh(x)$.

¿Cuál es el punto? Bueno, probablemente también tiene que saber la analogía con la gran-gran-padre de todas las identidades trigonométricas con $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$:

$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1.$$

Bien, ahora que ya tienes eso, puedes ir a la derecha en la manipulación de expresiones de una manera muy similar a la forma de demostrar identidades que implican senos y cosenos.

No me siento como que he respondido a la pregunta en el ámbito que usted solicita, pero espero que esto le proporciona una perspectiva diferente sobre el uso de alternativas defintions a la exponencial.

Answer 3

Cuando me enteré de las definiciones de estas funciones, se definió $\ln(x) = {\large\int_1^x} \dfrac1t\ dt$, a partir de la cual hemos sido capaces de derivar la propiedad $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$ como sigue $$ln(ab)=\ln(x) = {\int_1^{ab}} \dfrac1t\ dt= \int_1^{a} \dfrac1t\ dt +\int_a^{ab} \dfrac1t\ dt $$

dejando $t=ax$ $$\int_1^{a} \dfrac1t\ dt +\int_1^{b} \dfrac1{ax}\ d(ax)=ln(a)+ln(b)$$

A continuación, puede definir $e^x$ como la inversa de a $ln(x)$ y tomar el logaritmo natural de $e^ae^b$ $$ln(e^ae^b)=ln(e^a)+ln(e^b)=a+b$$ ahora deshacer el logaritmo natural el uso de la exponencial y consigue $e^{a}e^b=e^{a+b}$ Esto le da una útil introducción a la exponencial antes de continuar con las funciones hiperbólicas en Xoque55 la respuesta