Así que a lo largo de mi lectura de la teoría de modelos la idea de la teoría "vacía" se ha puesto como trivial, sin embargo, tengo curiosidad por saber por qué. Veamos lo siguiente.
Supongamos que tenemos $L_=$ el lenguaje con igualdad pero sin ningún otro símbolo de relación/función/constante. Sea $T$ sea la teoría vacía (por lo que no contiene $L_=$ sentencias). ¿Es cierto que dos modelos cualesquiera de $T$ de la misma cardinalidad $\kappa$ son isomorfas? Es decir, demuestre que $T$ es $\kappa$ -categórico para todos los cardinales $\kappa$ .
Mi intuición me lleva a decir que los modelos de $T$ de cardinalidad $\kappa$ son sólo los conjuntos subyacentes de un modelo, dada la ausencia de relaciones/fórmulas. Para los modelos contables puedo ver cómo esto conduciría a un isomorfismo $\phi : A \to B$ estableciendo $\phi(a_i)=b_i$ para todos $i \in \mathbb{N}$ , $a_i \in A$ , $b_j \in B$ . Sin embargo, para los conjuntos incontables estoy teniendo más problemas, debido a la incapacidad de indexar los elementos y a mi falta de conocimientos de teoría de conjuntos (intento verlo puramente desde la perspectiva de la teoría de modelos). Cualquier ayuda será muy apreciada.
