Modelos de la teoría del vacío

Question

Así que a lo largo de mi lectura de la teoría de modelos la idea de la teoría "vacía" se ha puesto como trivial, sin embargo, tengo curiosidad por saber por qué. Veamos lo siguiente.

Supongamos que tenemos $L_=$ el lenguaje con igualdad pero sin ningún otro símbolo de relación/función/constante. Sea $T$ sea la teoría vacía (por lo que no contiene $L_=$ sentencias). ¿Es cierto que dos modelos cualesquiera de $T$ de la misma cardinalidad $\kappa$ son isomorfas? Es decir, demuestre que $T$ es $\kappa$ -categórico para todos los cardinales $\kappa$ .

Mi intuición me lleva a decir que los modelos de $T$ de cardinalidad $\kappa$ son sólo los conjuntos subyacentes de un modelo, dada la ausencia de relaciones/fórmulas. Para los modelos contables puedo ver cómo esto conduciría a un isomorfismo $\phi : A \to B$ estableciendo $\phi(a_i)=b_i$ para todos $i \in \mathbb{N}$ , $a_i \in A$ , $b_j \in B$ . Sin embargo, para los conjuntos incontables estoy teniendo más problemas, debido a la incapacidad de indexar los elementos y a mi falta de conocimientos de teoría de conjuntos (intento verlo puramente desde la perspectiva de la teoría de modelos). Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Pequeña distinción: lo que realmente importa es que el lenguaje esté vacío (EDIT: con "vacío" me refiero a "sin símbolos no lógicos", es decir, "sin símbolos de relación, función o constante"), no la teoría. Si $T$ es una teoría en el lenguaje vacío, sigue siendo cierto que dos modelos cualesquiera de $T$ de la misma cardinalidad son isomorfas.

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Tienes razón al ser un poco más cuidadoso al pensar en modelos incontables -muchas veces hay complicaciones extra, o hechos agradables sobre modelos contables simplemente no son ciertos- pero en este caso la indexación está hecha para ti.

Diciendo que " $\mathcal{A}$ tiene tamaño $\kappa$ "significa "existe una biyección $f: \mathcal{A}\rightarrow\kappa$ ." Así que si $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ son modelos de tamaño $\kappa$ entonces tenemos mapas $f, g: \mathcal{A}, \mathcal{B}\cong \kappa$ y esto da una biyección entre $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ : $i=g^{-1}f$ . La elección de una biyección con $\kappa$ puede parecer sospechoso, pero está perfectamente bien - no estamos afirmando que haya una único isomorfismo entre $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ (de hecho, esto sería falso, por supuesto), sólo que hay algunos isomorfismo.