Cada finito abelian grupo es el grupo de Galois de algunos finito extensión de los racionales

Question

Estoy tratando de probar que cada finito abelian grupo es el grupo de Galois de algunos finito extensión de los racionales. Creo que estoy casi allí.

Dado un número finito de grupo abelian $G$, he construido campo de extensiones cuya Galois grupos son los grupos cíclicos que ocurren en el producto directo de $G$. ¿Cómo puedo demostrar que la compositum de estos campos de Galois grupo $G$.

Saludos

Answer 1

La forma más sencilla que conozco para hacer esto es lo que Dinesh sugiere en el comentario, junto con mi sugerencia anterior.

1. Mostrar que si $n\geq 1$, $n$th cyclotomic campo $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ (donde $\zeta_n$ es una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad) ha Galois grupo isomorfo a $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$. La estructura de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ es bien entendido en términos de la descomposición en factores primos de a $n$.

2. Dado un número finito de grupo abelian $G$, encontramos una $n$ tal que $G$ es un subgrupo de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$.

3. Probar que si $A$ es un grupo abelian, y $H$ es un subgrupo de $A$, entonces existe un subgrupo $K$ $A$ tal que $A/K\cong H$.

4. Usar el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois y los puntos de arriba para obtener el resultado deseado.

Answer 2

Todo lo que tienes que utilizar a partir de la estructura del grupo de (Z/nZ)* es que es producto directo de grupos cíclicos. Para encontrar las $n$ hace uso del teorema de dirichlet a partir de la cual podemos decir que hay una infinidad de números primos que son 1(mod n). Y la cosa sobre la 'final' es sólo el teorema fundamental de la teoría de Galois. Cuando vea que el $G$ puede ser visto como un cociente de $(Z/nZ)$* a continuación, de acuerdo con el teorema fundamental existe un campo intermedio decir $K$ $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ $\mathbb{Q}$ tal que $Gal(K/Q)$$G$. Ahora la única tarea que queda para usted es que muestra que $G$ puede ser visto como un cociente de $(Z/nZ)$* el uso del teorema de dirichlet.

La buena suerte.

Answer 3

@Daisy, su pregunta es parte de algo más general se llama la Inversa de Galois Problema, que data todo el camino de David Hilbert y Emmy Noether: que grupos finitos puede ser realizado como grupo de Galois sobre un general de campo?. Véase, por ejemplo, la discusión http://mathoverflow.net/questions/6743/the-inverse-galois-problem-what-is-it-good-for. Existe una amplia literatura sobre el tema.