La respuesta es sin duda afirmativa, si se extienden los coeficientes de a $\Bbb{Q}$. Esto es debido a que el grupo de álgebra $\Bbb{Q}C_3\cong \Bbb{Q}[x]/\langle x^3-1\rangle$. Aquí $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ factores en coprime irreductible factores, de modo que por el Teorema del Resto Chino tenemos
$$
\Bbb{Q}[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \Bbb{Q}[x]/\langle x-1\rangle\oplus\Bbb{Q}[x]/\langle x^2+x+1\rangle.
$$
El último sumando es, obviamente, isomorfo al campo $\Bbb{Q}[\omega]$. La restricción de la isomorfismo dada por la CRT para el aumento de ideal, $I=(x-1)\left(\Bbb{Q}[x]/\langle x^3-1\rangle\right)$, mapas isomorphically en el último sumando.
Espero que algunos de los problemas potenciales cuando se restringen los coeficientes enteros. En gran parte porque no veo cómo escribir $1$ $\Bbb{Z}[x]$- combinación lineal de $x-1$$x^2+x+1$. Solo obtengo $3=(x^2+x+1)-(x+2)(x-1)$. No me atrevo a decir nada definido de inmediato.
Editar:
Si denotamos el generador de $C_3$$c$, la asignación de
$$
a_1\cdot1+a_2\cdot c+a_3\cdot c^2\mapsto a_1+a_2\omega+a_3\omega^2
$$
para todos los enteros $a_1,a_2,a_3$ no mapa el anillo de grupo $\Bbb{Z}C_3$ homomorphically para el anillo de Eisensteinian enteros. El aumento ideal es aditiva generado por $1-c$$c-c^2$. Las imágenes de estos elementos $1-\omega$$\omega-\omega^2=2\omega-1$. Estos dos números en forma aditiva generar el primer ideal de $\Bbb{Z}[\omega]$ está por encima del ramificado prime $3$. Así que la imagen de la ampliación ideal es de índice de tres.
