Caracterización del resolvente de un operador acotado en un espacio de Hilbert

Question

Sea $E$ sea un espacio de Hilbert complejo con producto interior $\langle\cdot\;| \;\cdot\rangle$ y la norma $\|\cdot\|$ .

Si $A\in\mathcal{L}(E)$ , $$\begin{align*} \rho(A):=\mathbb{C}\setminus\sigma(A) & = \{\lambda \in \mathbb{C}\colon \exists d>0; \|(\lambda \mathrm{Id}-A)y\|\geqslant d\|y\|,\;\forall\;y\in E\\ &\phantom{+++}\;\hbox{and}\;\;\mathrm{dist}(x, \mathrm{Im}(\lambda\mathrm{Id}-A))=0\,\forall x\in E\;\}? \end{align*}$$ donde $\mathrm{dist}$ es la distancia inducida por $\|\cdot\|$ .

Answer 1

La segunda condición dice que la imagen de $\lambda I - A$ es denso. La primera implica $\lambda I - A$ es inyectiva y tiene imagen cerrada. Así que $\lambda I - A$ es una biyección lineal. La primera condición también implica que su inversa está acotada.